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微分が未知関数とその導関数との関係を指し、微分方程式の解は、未知の機能を見つけることです。未知の機能常微分方程式と呼ばれ、一つの変数の関数であり、未知の機能は、偏微分方程式と呼ばれる、多機能です。ODEはまた時々方程式と呼ばれています。微分方程式が複雑なテーマである、それは常微分方程式のために、あなたは固有値と固有ベクトルが解決知識を使用することができます。
事前の関連知識：
微分方程式：単一変数微積分11--常微分方程式と変数の分離
テイラー式：単一変数微積分30--級数とテイラー級数
夜十二時折り畳まれていないの理由テイラー式：多項式関数は、原則の非線形問題を近似することができます
固有値と固有ベクトル：線形代数の固有値と固有ベクトル22--
行列の対角化：線形代数とパワーズノート対角行列23--
常微分方程式の一般解
常微分方程式の概念を構築するためによると：
目標は、UがU（t）は、特定のフォーム=元の関数を得ることです。解決を統合することによって：
これは一般的な解決策に最終的な答えであり、Cは任意の定数です。実際には、この解決策はの不定積分の知識を使用することです：
デュ/ DT = uの場合は、変数の分離の実施例を用いて解くことができます。
この関数はでAeのタイプであるとしての機能自体の誘導体は、時間の関数である場合には、あるTの E = Aので、関数Cは任意の定数であり、それほど頻繁Aは、Cで書かれ、CE = Uの書面交換T形。
同様に、デュ/ DT =λUため、微分方程式の解は、CE =のU（T）であり、λは、T。場合は0トン=：
Cは任意の定数であるので、C = U（0）、U（T）= U（0）E得るために取ることができ、λT 、定数を取り除くことができるようにすることをC. 実用上の問題では、Uは時間に、それは一般的に、T = 0の初期条件と見なすことができ、時間tの関数として表すことができます。
常微分方程式と行列
常微分方程式の今拡張セットに対する常微分方程式、U 1 = U 1（T）、U 2 = U 2（T）、T = 0の初期条件の初期値U（0）=（1,0） 、微分方程式を解きます：
微分方程式は、ベクトル行列の形で書くことができます。
変換に対応する常微分方程式はDになったU / DT = Auのリニア形。
常微分方程式の線形代数ソリューション
DのためのU / DT = 金、U話す。1及びU 2は、（式が書かれていない結合が必要ではない）のカップリングの間に存在し、Aは、それらの結合関係を表します。
マトリックスの溶液と対角化の固有ベクトルと固有値は、このように方程式ができる関係に関連する固有値と固有ベクトルを。行列の最初のAの固有値。
おそらくすぐに見ることができ、Aが特異行列、λは特性値である。1 = 0。固有値行列のトレースは、微量元素及び主対角行列であり、さらに特性値λを得ることが可能である2 =（ - 1-2）-0 = -3。
もちろん、それはまた、オーソドックスな方法によって解決することができます。
次に、特性方程式は、特徴ベクトルが得られます。
特解
微分方程式の2つの特定のソリューションがあります。
このインデックスは、2つの純粋なソリューションを組み合わせたものです。X-、そのノート1及びX- 2は、二次元ベクトルであり、したがって、V 1及びV 2は 2次元です。
V検証する。1 V = U場合、1は方程式の解、Vで1個の置換原式に：
確認①=②式が保持しているものとされて確立されます。
Xが1と、λ 1アックス=λxを、①=②の固有値と固有ベクトルの組は、このように確立され、V 1は、微分方程式の解です。同様に、V 2の溶液は、微分方程式です。
一般的なソリューション
DのためのU / DT = Auの V場合、1及びV 2は、方程式の解である、方程式の解は、その線形組み合わせである、従って微分方程式の解を介するものです。
検証と妥当性確認方法と同様のレイドソリューション：
確認してください③=④限り、それが確立されると、その方程式を仮定することは保持しています：
X 1と、λ 1は、方程式Ax =λxをの固有値と固有ベクトルの組、⑤が確立されます。同様に、⑥それもまた真であるので、一般的な解決策が確立されます。
最後に一般的な溶液に値をλとX：
ここで終わりにするいかなる初期条件が存在しない場合、これはU字形状（T）,. この場合、初期値は、このようにCを計算するために続けることができる与える1及びC 2：
ときトンとして→∞：
トンの増加に伴い、u（t）が徐々に固定値に収束するが、我々は、U（t）は定常状態で呼び出します。
ここで、Aは、特性値0であり、そして他の特性値が0未満である（それが複雑な場合、実部が0未満である）：一般的な溶液は、その場合、U（t）は定常状態に達した2×2行列が指摘されています。場合、λ 1 = 0、λは2 > 0、U（T）が発散します。
デカップリング
1の内容を確認し、ときCを解くことによって初期値：
固有ベクトル行列はSで表される場合、上記式は= Scのように書くことができる。U = Scのによって、すなわち、（0）、U（0）を求めるCであることができます。
常微分方程组du/dt = Au，u=(u1, u2)，u1, u2是两个互相耦合的未知函数，A表明了它们的耦合关系，求解微分方程组的关键是如何解耦，而解耦的方式正是利用特征值和特征向量。现在的问题是，能否把微分方程的解表示成S和Λ的形式（Λ是特征值矩阵，参考上一章内容）？
既然u是通过A耦合的，A又能通过S和Λ对角化（A=SΛS-1），因此u可以用特征向量矩阵S解耦，令u=Sv，v(t)是某个未知的常微分方程组：
S是常矩阵，因此：
根据上一章矩阵对角化的内容：
这实际上是得到了没有耦合的新方程组：
每个方程都可以套用一开始讲过的内容：du/dt=λu，微分方程的解是u(t)=Ceλt，再代入初始条件t=0，u(t)=u(0)eλt：
将二者合并：
v(0)的具体值我们不知道也不关心，只知道是个常向量，Sc=u(0)，c是任意常向量，设c=v(0)：
更进一步：
接下来解释为什么会得到这个结论。
矩阵指数exp(At)
A是矩阵，eAt是以矩阵为指数的表达式，它代表什么意思呢？
我们知道f(x)在x=0点处的泰勒展开式：
ex在x0=0点处的泰勒展开式是：
0的阶乘是1。展开式是收敛的，越靠后的项对总体的影响越小，越接近于0。证明起来较为容易：
因此ex是收敛的。
同样，eAt也在At=O点处进行泰勒展开，注意这里的O是A的同阶零矩阵，eO等于单位矩阵：
eAt也是收敛的。
上一章已经讲过矩阵的对角化：
代入到eAt中：
中间的一大堆正好是e∧t的泰勒展开式，因此eAt最终可以写成：
这就是矩阵指数的公式，当然，上式成立的前提是A可以对角化，即An×n存在n个独立的特征向量。
最后再来看看e∧t是什么。
和通解的形式一致，如果有初始值，可以根据初始值计算出具体的C。
二阶常微分方程
现在有一个二阶常微分方程：
求解时需要把方程转换成矩阵的形式：
这就又变成了du/dt=Au的形式，可以用矩阵直接求解。
综合示例
求解三阶常微分方程并构建eAt：
接下来需要求得A的特征值和特征矩阵。根据特征方程可得到：
接下来通过3个特征值求的特征向量：
第1个特征向量的特解是：
类似的方式求得另外两个特征向量：
u(t)的通解：
最后来构建eAt：
相关前置知识：
微分方程：单变量微积分11——常微分方程和分离变量
泰勒公式：单变量微积分30——幂级数和泰勒级数
泰勒公式在0点展开的原因：多项式函数能够拟合非线性问题原理
求逆矩阵：线性代数笔记8——求解逆矩阵
求行列式：线性代数20——行列式和代数余子式
特征值和特征向量：线性代数22——特征值和特征向量
矩阵对角化：线性代数笔记23——矩阵的对角化和方幂
作者：我是8位的
出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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