第一章 行列式 第七节 克拉默法则

§1.7 克拉默法则

  含有 $n$个未知数 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的 $n$个线性的线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n} &=b_{1},\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n} &=b_{2},\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n} &=b_{n}. \end{cases} \tag{1}$

克拉默法则：

如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，即
$D = \left| \begin{matrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ &\cdots&\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right| \neq 0,$
那么，方程组(1)有唯一解
$x_{1}=\frac{D_{1}}{D},\ \ x_{2}=\frac{D_{2}}{D},\ \ \cdots,\ \ x_{n}=\frac{D_{n}}{D},$
其中 $D_{j}(j=1,2,\cdots,n)$是把系数行列式 $D$中第 $j$列的元素用方程组右端的常数项代替后所得的 $n$阶行列式，即
$D_{j} = \left| \begin{matrix} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ &&\vdots&\vdots&\vdots&\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right| .$

定理1：

如果线性方程组(1)的系数行列式 $D\neq0,$则(1)一定有解，且解是唯一的。

定理2：

如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必定为零。
  线性方程组(1)右端的常数项 $b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}$不全为零时，线性方程组(1)叫做非齐次线性方程组，当 $b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}$全为零时，线性方程组(1)叫做齐次线性方程组。
  对于齐次线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n} &=0,\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n} &=0,\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n} &=0. \end{cases} \tag{2}$
$x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=0$一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组(2)的零解。如果有一组不全为零的数是(2)的解，则它叫做齐次线性方程组(2)的非零解。

定理3：

如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 $D\neq0,$则齐次线性方程组(2)没有非零解。

定理4：

如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式必为零。
《线性代数》同济大学第五版笔记