第一章 行列式 第二三节 全排列及其逆序数/n阶行列式的定义

§1.2 全排列及其逆序数
§1.3 n阶行列式的定义

1.2 全排列及其逆序数

  把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）。n个不同元素的所有排列的种数，通常用 $P_{n}$表示。

$P_{n} = n·(n-1)·\cdots·2·1 = n!$

  对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序，于是在这n个元素的任一排列中，当某个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

逆序数的计算

  设

$p_{1}p_{2} \cdots p_{n}$

为n个自然数的一个排列，考虑元素 $p_{i}(i=1,2, \cdots ,n)$,如果比 $p_{i}$大的并且排在其前面的元素有 $t_{i}$个，就说 $p_{i}$这个元素的逆序数是 $t_{i}$.那么全体元素的逆序数之和

$t = t_{1} + t_{2} + \cdots + t_{n} = \sum_{i=1}^n{t_{i}}.$

1.3 n阶行列式的定义

  设有 $n^{2}$个数，排成n行n列的数表

$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} ,\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}, \\ & \cdots&\cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}, \end{matrix} \tag{1}$
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号 $(-1)^{t}$，得到形如

$(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}} \cdots a_{np_{n}} \tag{2}$

的项，其中 $p_{1}p_{2} \cdots p_{n}$为自然数 $1,2, \cdots n$的一个排列，t为这个排列的逆序数.由于这样的排列有 $n!$个，因而形如(2)式的项共有 $n!$.所有这 $n!$项的代数和

$\sum{(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}} \cdots a_{np_{n}}} \tag{3}$

称为n阶行列式，记作

$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & \cdots&\cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right|, \tag{4}$

简记作 $det(a_{ij}),$ 其中数 $a_{ij}$为行列式D的(i,j)元。

《线性代数》同济大学第五版笔记