第一章 行列式 第四五节 对换/行列式的性质

§1.4 对换
§1.5 行列式的性质

1.4 对换

  在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。

定理1：

  一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
  证明思路：先证明相邻对换的情形，再证明一般对换的情形。

推论：

  奇排列变成标准排列的兑换次数为奇数，偶排列变成标准排列的兑换次数为偶数。

定理2：

  n阶行列式也可定义为
$D = \sum{(-1)^{t}a_{p_{1}1}a_{p_{2}2} \cdots a_{p_{n}n}}$
其中t为行标排列 $p_{1}p_{2} \cdots p_{n}$的逆序数。

1.5 行列式的性质

  记
$D = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & \cdots&\cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right|,\ \ \ \ D^{T} = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & \cdots&\cdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right|,$
行列式 $D^{T}$称为行列式 $D$的转置行列式。

性质1：

  行列式和它的转置行列式相等.

性质2：

  互换行列式的两行(列)，行列式变号.

推论：

  如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零.

性质3：

  行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 $k$，等于用数 $k$乘以此行列式.

推论：

  行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.

性质4：

  行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零.

性质5：

  若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，例如第 $i$列的元素都是两数之和：
$D = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & (a_{1i}+a^{\prime}_{1i}) & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & (a_{2i}+a^{\prime}_{2i}) & \cdots & a_{2n} \\ &&\cdots&\cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & (a_{ni}+a^{\prime}_{ni}) & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right|$
则 $D$等于下列两个行列式之和

$D = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n} \\ &&\cdots&\cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix}\right| + \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a^{\prime}_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a^{\prime}_{2i} & \cdots & a_{2n} \\ &&\cdots&\cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a^{\prime}_{ni} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right|.$

性质6：

  把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变.

《线性代数》同济大学第五版笔记