线代复习——第一章 行列式

==※==为重点

&1 二阶与三阶行列式

1. 二阶行列式
   表达式a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ 称作二阶行列式并记作图1
   其中a₁₁a₂₂ 之间连线称之为主对角线，a₁₂a₂₁ 之间的连线称之为副对角线
   $\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{matrix} \right| \tag{1}$
2. 三阶行列式 ※
   对角线法则：三条实线的元素之和，减去三条虚线的元素之和
   

---

&2 全排列与对换

1. 排列及其逆序数

• 全排列：把N个不同元素排成一列，简称排列
• 标准次序：对于N个不同元素，各个元素之间的排列顺序（对与自然数，可以规定有大到小为标准次序）
• 逆序：在N个元素的任一排列中，当排列的顺序与标准次序不同时，就说他构成一个逆序
• 逆序数： 一个排列过程中的所有排序的总数
• 偶排序：逆序数的个数为偶数
  例题：

求排列32514的逆序数
解:
3排在首位,逆序数t₁=0;
2的前面比二大的有三,t₂=1;
5是最大数,t3=0;
1的前面比一大的有(3,2,5),t₄=3;
4的前面比四大的有五,t₅=1;
t= $\sum_{i=1}^5$t_i=0+1+0+3+1=5

2. 对换

• 对换: 将任意两个元素对调,其余元素不懂,构造的新排序称之为对换
• 相邻对换: 相邻两个元素对换
  定理: 一个排序中的任意两个元素对换,排序的奇偶改变
  推论: 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数,偶排列对换从标准排序的对换次数为偶数

---

&3 N阶行列式

证明:三阶行列式
$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{matrix} \right| \tag{2}$
=a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₂ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₁a₂₃a₃₃ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₃a₂₂a₃₁
可以看到,第一个下表全为 123
第二个下表:
带正号的: 123,231,321 (奇排列)¹
带负号的:132,213,321 (偶排列)
所以三阶行列式可写为
$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{matrix} \right| = \sum(-1)^ta_{1p1}a_{2p2}a_{3p3} \tag{3}$
所以N阶行列式为: (-1)^ta_1p1a_2p2…a_npn
记作
$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right| \tag{4}$

• 上(下)三角行列式: 主对角线以上(下)都为零的行列式
• 对角行列式: 主对角线以上,以下都为零的行列式

---

&4 行列式的性质 ※

• 性质1: 行列式与他的转至行列式相等
  $D= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right|$
  $D^T= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \cdots &a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots &a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right| \tag{5}$
• 性质2: 对换行列式的两行,行列式变号
• 推论:如果行列式的两行或者两列完全相同,则此行列式为零
• 性质3: 行列式的某一行(列)中的所有元素都乘同一个书数k,等于用k乘以此行列式
• 推论:行列式中的某一行(l列)中的所有元素的公因子都可以提到行列式记号的外面
• 性质4: 行列式中的任意两行(列)元素成比例,此行列式等于零
• 性质5: 诺行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如第i行的元素都是两数之和,则D等于两个行列式之和
• 性质6: 把行列式的某一行(列)的各个元素乘以同一个数在加到另一行(列) 对应元素相加,行列式不变

---

&5 行列式按行(列)展开 ※

• 余子式: 把第(i,j)元虽在的a_ij第i行与第j列去掉,留下来的第n-1阶行列式叫做余子式.记作M_ij
• 代数余子式: A_ij=(-1)^i+jA_ij
• 引理: 一个n阶行列式, 如果其中第i行的所有元素处(i,j)外,都为零,那么这行列式等于a_ij与他是代数余子式的成绩即 D=a_ijA_ij
• 定理2:行列式等于他的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
  范德蒙行列式 ※

$D_n= \left| \begin{matrix} 1 &1 &\cdots &1\\ x_1 &x_2 &\cdots &x_n\\ x_1^2 &x_2^2 &\cdots &x_n^2\\ \vdots &\vdots &\ddots &\cdots\\ x_1^{n-1} &x_2^{n-1} &\cdots &x_n^{n-1} \end{matrix} \right| =\prod_{n\geqslant i>j\geqslant 1}(x_i-x_j) \\其中\prod 表示全体同类因子的乘积 \tag{6}$
数学归纳法证明
原理
最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：
证明当n= 1时命题成立。
假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）
$D_2= \left| \begin{matrix} 1 & 1\\ x_1 & x_2 \end{matrix} \right| \tag{7}$
把D_n降阶:从第n行开始后行减去前行的x₁倍
$D_n= \left| \begin{matrix} 1 &1 &1 &\cdots &1\\ 0 &x_2-x_1 &x_3-x_1 &\cdots &x_n-x_1\\ 0 &x_2(x_2-x_1) &x_3(x_3-x_1) &\cdots &x_n(x_n-x_1)\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &x_n(x_n-x_1)\\ 0 &x_2^{n-2} (x_2-x_1) &x_3^{n-2} (x_3-x_1) &\cdots &x_n^{n-2} (x_n-x_1) \end{matrix} \right| \tag{8}$
把公因子(x_i-x₁)提出来
$D_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)= \left| \begin{matrix} 1 &1 &\cdots &1\\ x_2 &x_3 &\cdots &x_n\\ \vdots &\vdots &\ddots &\cdots\\ x_2^{n-2} &x_3^{n-2}&\cdots &x_n^{n-2} \end{matrix} \right|$
$D_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\prod_{n \geqslant i>j \geqslant 2} (x_i-x_j) \\= \prod_{n \geqslant i > j \geqslant 1}(x_i-x_j)$

---

1. 奇排序：逆序数的个数为奇数 ↩︎