第一章 行列式
1.1 二阶行列式
我们在中学里曾经学过如何解二元一次方程组和三元一次方程组. 在许多实际问题中,我们还会遇到未知数更多的一次方程组，通常称之为线性方程组. 一般来说，具有下列形状的方程组我们称为\(n\)元线性方程组的标准式:
\[\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \tag{1.1.1} \end{cases}\]
其中\(a_{ij},b_j(i=1,2,\cdots,m;j= 1,2,\cdots,n)\)都是常数, \(x_i(i=1,2,\cdots,n)\)是未知数,方程组中所有未知数都是一次的. 注意在一般的线性方程组中, \(m\)和\(n\)可以不相等,即方程组中未知数个数和方程式个数可以不等, 凡是经过有限次移项、合并同类项可以变为\((1.1.1)\) 式形状的方程组都称为线性方程组.求解线性方程组是线性代数的一个重要任务,我们在这一章中主要讨论当 \(m= n\),即方程式个数等于未知数个数时如何来解上述线性方程组.
我们首先回忆一下中学里学过的解二元一次方程组的方法，先看一个简单的例子.
例1.1.1 求解二元一次方程组:
\[\begin{cases}2x -y = 5,\\ 3x + 2y= 11\tag{1.1.2} \end{cases}\]
解: 用代入消去法, 在第一个方程式中解出\(y\)用\(x\)表示的式子:
\[y=2x- 5. \]
代入第二个方程式中得到
\[3x + 2(2x- 5)= 11. \]
1.3 \(n\)阶行列式
我们称下面用两条竖线围起来的由\(n\)行\(n\)列元素组成的式子为一个\(n\)阶行列式:
\[|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \tag{1.3.1} \end{vmatrix}\]
它由\(n\)行\(n\)列共\(n^2\)个元素组成,第\(i\)行上元素全体称为行列式\(|A|\)的第\(i\)行,第\(j\)列上元素全体称为行列式\(|A|\)的第\(j\)列. 第\(i\)行第\(j\)列交点上的元素\(a_{ij}\)称为行列式\(|A|\)的第\((i,j)\)元素. 元素\(a_{11}, a_{22} , \cdots , a_{nn}\)称为\(|A|\)的主对角线.
定义 1.3.1 定义元素\(a_{ij}\)的余子式\(M_{ij}\)为由行列式\(|A|\)中划去第\(i\)行第\(j\)列后剩下的\(n-1\)行与\(n-1\)列元素组成的行列式:
\[M_{ij}=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\]
定义 1.3.2 当\(n=1\)时,\((1.3.1)\)式的值定义为\(|A|=a_{11}\). 现假定对\(n-1\)阶行列式已经定义了它们的值, 则对任意的\(i,j\),\(M_{ij}\)的值已经定义, 定义\(n\)阶行列式\(|A|\)的值为
\[|A|=a_{11}M_{11}-a_{21}M_{21}+ \cdots + (-1)^{n+1}a_{n1}M_{n1}. \tag{1.3.2} \]
定义 1.3.3 在行列式\(|A|\)中,\(a_{ij}\)的代数余子式定义为
\[A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \]
其中\(M_{ij}\)是\(a_{ij}\)的余子式.
用代数余子式, \((1.3.2)\)式可以写为如下形状:
\[|A|=a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+ \cdots + a_{n1}A_{n1}. \tag{1.3.3} \]
性质 1 若\(|A|\)是一个\(n\)阶行列式,且
\[|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}, 或|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\]
\[, 则|A| = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} \]
性质 2 若\(n\)阶行列式\(|A|\)的某一行或某一列的元素全为0,则\(|A|=0\).
\[|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & 0 & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= 0\]
性质 3 若\(n\)阶行列式\(|A|\)的某一行或某一列的元素乘以一个常数\(c\),则得到的行列式\(|B|=c|A|\).
\[|B|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ca_{i1} & ca_{i2} & \cdots & ca_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & ca_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & ca_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & ca_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= c|A|\]
性质 4 对换行列式\(|A|\)的任意不同的两行,则行列式的值改变符号(绝对值不变).
\[|B|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=-|A|\]
性质 5 若行列式\(|A|\)的两行成比例, 则\(|A|=0\). 特别, 若行列式的两行相等, 则行列式的值等于零.
\[|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ca_{i1} & ca_{i2} & \cdots & ca_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=0\]
性质 6 设\(|A|,|B|,|C|\)是\(3\)个\(n\)阶行列式, 它们的第\((i,j)\)元素分别记为\(a_{ij},b_{ij},c_{ij}\). \(|A|,|B|,|C|\)的第\(r\)行元素适合条件:
\[c_{rj} = a_{rj} + b_{rj} (j=1,2,\cdots,n) \tag{1.3.6} \]
而其他元素相同,即\(c_{ij} = a_{ij} = b_{ij} (i\neq r, j=1,2,\cdots,n)\), 则
\[|C| = |A| + |B| \]
\[\begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r1} + b_{r1} &a_{r2} + b_{r2} & \cdots & a_{rn} + b_{rn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r1} & a_{r2} & \cdots & a_{rn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{r1} & b_{r2} & \cdots & b_{rn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix}\]
性质 7 将行列式的一行乘以某个常数\(c\)加到另一行上, 行列式的值不变, 即
\[\begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + cb_{j1} &a_{i2} + cb_{j2} & \cdots & a_{in} + cb_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\]
列性质
性质 \(5^{'}\) 若行列式\(|A|\)的两列成比例, 则\(|A|=0\). 特别, 若行列式的两列相等, 则行列式的值等于零.
\[|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & ca_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2i} & \cdots & ca_{2i} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & ca_{ni} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=0\]
性质 \(6^{'}\) 设\(|A|,|B|,|C|\)是\(3\)个\(n\)阶行列式, 它们的第\((i,j)\)元素分别记为\(a_{ij},b_{ij},c_{ij}\). \(|A|,|B|,|C|\)的第\(r\)列元素适合条件:
\[c_{ir} = a_{ir} + b_{ir} (i=1,2,\cdots,n) \]
而其他元素相同,即\(c_{ij} = a_{ij} = b_{ij} (j\neq r, i=1,2,\cdots,n)\), 则
\[|C| = |A| + |B| \]
\[\begin{vmatrix} c_{11} & \cdots & a_{1r}+b_{1r} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & \cdots & a_{2r}+b_{2r} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & a_{nr}+b_{nr} & \cdots & c_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1r} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2r} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nr} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1r} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & \cdots & b_{2r} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nr} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix}\]