第5章 行列式

行列式的概念起源于线性方程组的求解

• 定义 5.1 数域$F$上的一个n阶行列式是取值于$F$的n个n维向量$(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\in F^n$的一个函数，而且$\forall \alpha_i,\beta_i \in F^n$和$\forall \lambda \in F$，满足以下规则：
  （1）$D(\alpha_1,\cdots,\lambda \alpha_i,\cdots,\alpha_n)=\lambda D(\alpha_1,\cdots,\alpha_i,\cdots,\alpha_n)$
  （2）$D(\alpha_1,\cdots,\alpha_i+\beta_i,\cdots,\alpha_n)=D(\alpha_1,\cdots,\alpha_i,\cdots,\alpha_n)+D(\alpha_1,\cdots,\beta_i,\cdots,\alpha_n)$
  （3）$D(\alpha_1,\cdots,\alpha_i,\cdots,\alpha_j,\cdots,\alpha_n)=-D(\alpha_1,\cdots,\alpha_j,\cdots,\alpha_i,\cdots,\alpha_n)$
  （4）$D(e_1,e_2,\cdots,e_n)=1$

定义有递归的意味，满足线性、对换反号、D(I)=1。
至于结果是唯一的吗？

• 性质1 若行列式中有一行为零向量，那么行列式值是0

  根据定义(1)

• 性质2 若行列式有两列元素相等，则行列式的值是0

  根据定义(3)

• 性质3 若行列式有两列元素成比例，则行列式的值等于0

  根据定义(1)和性质2

• 性质4 将某一列乘以常数加到另一列（不同列），行列式值不变

• 性质5 若列线性相关，则行列式的值是0

有了这些性质，计算行列式会方便很多。到这里都是列操作的性质，那么行操作呢？

• 性质6 $|A^T|=|A|$

证明：若r(A)小于n，则都是0。
若r(A)=n，则A可逆。$A=P_1P_2\cdots P_k$(化为单位矩阵的过程得到这些P)。$P_k$是初等矩阵。$A^T=P_k^T\cdots P_1^T$，有$|P_k|=|P_k^T|$，所以得证

• $|AT|=|A||T|$，T是初等矩阵

• 定义 5.2 在n阶行列式$D=|a_{ij}|_{n×n}$中，去掉元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列的所有元素而得到的n-1阶行列式，称为元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$，并把数

  $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$
  称为元素$a_{ij}$的代数余子式

• 定理 5.1 设$D=|a_{ij}|_{n×n}$，则
  

  $$D=\sum_{k=1}^na_{kj}A_{kj}=\sum_{k=1}^na_{ik}A_{ik}$$
  分别是D对第j列的展开式和D对第i行的展开式。

• 定理 5.3 A,B是n×n的矩阵，则$|AB|=|A||B|$

  证明：当r(B)<=n-1时，都是0
  当r(B)=n时，$B=P_1P_2\cdots P_k$

• 定理 5.4 A可逆$\iff|A|\ne0$

• 定义 5.4 矩阵$A=(a_{ij})_{m×n}$的非零子式的最高阶数r称为A的行列式秩

• 定理 5.5 秩（A）=r $\iff$A的行列式的秩是r

线性方程组解——Cramer法则