n阶行列式（一）

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1 排列的逆序数与对换

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1、逆序：对于n个不同的元素，规定各元素之间有一个标准顺序，当两个元素的先后顺序与标准顺序不同时，就说有一个逆序。

• n级排列：由自然数 $1，2，\cdots，n$ 组成的一个有序数组 $p_1，p_2，\cdots，p_n$ 称为一个 $n$ 级排列，并规定从小到大为标准顺序；
• n级排列逆序数计算：将每个元素依次向前比较，则可计算排列的逆序数。 $p_1，p_2，\cdots，p_n$ 为一 $n$ 级排列，考虑元素 $p_i（i=1，2，\cdots，n）$ ，如果排在它前面且大于它的元素个数为 $t_i$，则称元素 $p_i$ 的逆序数为 $t_i$ ，全体元素的逆序数之和：
  $t = t_1 + t_2 +\cdots+ t_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} t_i$
  即是这个排列的逆序数。
  e.g. $32145$ 的逆序数： $t(32145) = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5$

2、排列的逆序数：一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数

• 奇排列：逆序数为奇数的排列叫做奇排列；
• 偶排列：逆序数为偶数的排列叫做偶排列；

3、一个排列种的任意两个元素对换，排列奇偶性改变（对换改变排列的奇偶性）

• 对换偶数次，排列奇偶性不变；对换奇数次，排列奇偶性改变；

2 n阶行列式的定义

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1、n阶行列式定义， $n!$ 项，不同行不同列 $n$ 个元素乘积的和：
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= \sum (-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2} \cdots a_{np_n}$
2、 $a_{q_1p_1}a_{q_2p_2} \cdots a_{q_np_n}$ 项符号的正负？
$q_1，q_2，\cdots ，q_n$ 的逆序数为 $s$， $p_1，p_2，\cdots ，p_n$ 的逆序数为 $t$，则其符号为 $(-1)^{s + t}$

3、三阶行列式计算（沙路法）

3 行列式性质

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1、行列式与它的转置行列式相等（转置不改变行列式）

2、互换行列式两行（列），行列式变号

• 如果行列式两行（列相同），此行列式为零；

3、行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 $k$ ，等于用数 $k$ 乘此行列式

• 行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外面；

4、行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零

5、行列式拆分
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & (a_{1i} + b_{1i}) & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & (a_{2i} + b_{2i}) & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & (a_{ni} + b_{ni}) & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & b_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & b_{2i} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_{ni} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$

6、把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式不变

4 行列式按行（列）展开

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1、余子式 和 代数余子式

• 余子式：在 $n$ 阶行列式中，把元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，留下来的 $n-1$ 阶行列式叫做元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$ ；
• 代数余子式：称 $A_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij}$ ，为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式；

2、行列式按行展开法则

• 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘机之和;
• 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘机之和等于零；
• 一个 $n$ 阶行列式，如果其中第 $i$ 行所有元素除 $a_{ij}$ 外都为零，那么该行列式等于 $a_{ij}$ 与它的代数余子式的乘积；

3、范德蒙行列式
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n - 1} & x_2^{n - 1} & \cdots & x_n^{n - 1} \\ \end{vmatrix}= \prod_{1 \leq j < i \leq n}(x_i - x_j)$

5 克莱姆法则

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1、克莱姆法则
$\begin{cases} \ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 ,\\ \ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 ,\\ \ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_1 ,\\ \end{cases}$
如果线性方程组的系数行列式不等于 0 ，即：
$D= \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \neq 0$
那么，方程组有唯一解：
$x_1 = \frac{D_1}{D},x_2 = \frac{D_2}{D}, \cdots , x_n = \frac{D_n}{D}$
其中 $D_j(j = 1,2,\cdots,n)$ 是把系数行列式中第j列的元素用方程组右端的自由项代替后所得的n阶行列式，即：
$D_j = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j - 1} & b_1 & a_{1,j + 1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j - 1} & b_n & a_{n,j + 1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$

2、如果线性方程组的系数行列式 $D \neq 0$ ，则线性方程组一定有解，且解是唯一的

• 如果线性方程组无解或有两个不同解，则其系数行列式必为零；

3、齐次线性方程组

• 必有一个零解
• 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于0，则它没有非零解（只有零解）；
• 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为0；