线性代数----1
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第一章 行列式
1.1行列式的定义
-
0 的三种理解
-
矩阵不能放在分母上，没有交换律
二阶行列式的定义：
a（ij）
主对角线、次对角线：
三阶行列式：
主对角线-副对角线
排列与逆序：
排列：
n级排列一共有n！种。
逆序：
逆序数：逆序的总数。
符号：N（4123）=3
逆序数是奇数，奇排列；偶数，偶排列。
标准排列：
数逆序数：
对换：
定理1.1.1：一个对换，奇偶排列改变一次。
定理1.1.2：
n阶行列式
第一种定义：按行展开。
行列式：
单个元素。和绝对值。
例题：四阶矩阵简算
下三角行列式：
上三角行列式：
对角型行列式：
另外两种副对角线：
总结类型：（主、次对角线）
第二种按列：
第三种：既不按行也不按列
考点：符号由行标和列表的逆序数之和决定。
例题：
1.2行列式的性质
转置：
两次转置等于没做：
性质1：行列式转置，值不变。
（对行成立的性质，对列也成立）
性质2：两行交换，值变号
性质3：两行或两列对应相等，D=0.
性质4：某一行都乘以k，等于用k乘以D。
推论：行列式某一行有公因子k，k可以提到外面去。
行列式所有元素均有公因子k，k提n次。
性质5：两行对应成比例，则D=0
推论：
性质6：
是和的那一行分开，其余的保持不变。
***性质7：某一行乘以一个数加到另一行上去，行列式的值不变。
例 计算行列式的值
解答过程：转化为上三角、对角相乘
变式：
解法：1、2行交换，变号。余下同上。把1换到第一个位置。
记忆方法：
1.3行列式按行展开 降阶
余子式：
代数余子式：
定理：（按某行（列）展开）
展开之前的选择：要选择哪一行？
- 选0多的行或列展开。
定理：（异乘变零）
证明：
拉普拉斯k阶子式及余子式：
拉普拉斯展开定理：
- 取定1、2行，1、2列，所以符号（-1）的1+2+1+2次方
行列式相乘：（同阶行列式）
不同阶相乘，一个个算就行。
1.4 行列式的计算
计算：
例1、a11是0时：
- 两种方法：交换1、2行或者，第二行加到第一行。
例2、展开并构造行列式
- 按行展开、构造行列式、余子式转为代数余子式，在行列式展开的时候找零多的行。
例3、制造行和：
例4、加边法、三叉型行列式
-
加边准则，不能改变原来行列式的值。
-
加边法主要是利用行列式展开进行 行列式的构造
- 有字母，放分母，要看是否有条件不等于0
例5、范德蒙德行列式：
右下角记得写上阶数
- 隐藏的范德蒙德行列式。但是第一行或者第一列一定都是相同的数，通常为1.
例6、反对称行列式、对称行列式
反对称行列式:
-
定义：aij=-aji
-
主对角元素全是0.
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上下位置对应相反数.
性质：奇数阶，行列式的值等于0.
推导：（3阶，奇数阶）
偶数阶，没用。D=D
对称行列式:
-
主对角元素无要求。
-
上下对应相等。
-
定义：aij=aji
1.5克莱姆法则（利用行列式解方程）
使用条件：（1、方程的个数等于未知数2、D不等于0）
D=系数行列式
计算量大，一般不用。（适合计算机解题）
定理1、齐次方程至少有零解（全等于0）
定理2、
-
齐次方程，方程个数=未知数个数，D！=0，只有零解。
-
D=0，齐次方程（方程个数=未知数个数）有非零解。
