A 行列式

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行列式：不同行不同列元素乘积的代数和。（共 $n!$ 项）

A.a 行列式的计算

（1）二阶行列式：
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（2）三阶行列式：
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主对角线减副对角线：

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（3）多阶行列式：

行列式按行展开（降阶）公式： $|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$
其中：
为代数余子式子（注意符号）。

例子：在这里插入图片描述但是有时候这样计算量太大，所以要先恒等变形。

（4）逆序、逆序数

排列：由 $1,2,...,n$ 组成的有序数组称为一个 $n$ 阶排列，通常用 $j_1,j_2,...j_n$ 表示 $n$ 阶排列。
例如： $2413——4阶排列$ $13542——5阶排列$

逆序数：一个排列的总序总数称为这个排列的逆序数。用 $\tau（j_1,j_2,...,j_n）$ 表示排列 $j_1,j_2,...,j_n$ 的逆序数。
如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列是偶排列，否则称为奇排列。 $\tau(2 4 3 1)=1+2+1=4\quad(2比1大，4比3和1大，3比1大)$ $\tau(3 1 5 3 2)=2+0+2+1=5\quad(3比1和2大，1，5比4和2大，4比2大)$

行列式的计算：
在这里插入图片描述 $j有n!种排列，故得到n!个项相加减$ 。

例子：
在这里插入图片描述
例子：

$x^3$ 一定不含 $a_{14}$ , $a_{41}$ ：由于相乘的 $a$ 是不同行不同列的， $a_{14}$ , $a_{41}$ 与其他两行不同列的元素组成 $x^3$ 时，剩余一行能取的元素为 $x$ .

1、经转置行列式的值不变 $|A^T|=|A|$
2、两行互换行列式的值变号。
特别地，两行相同行列式的值为0。
3、某行如果有公因数 $k$ ,可把 $k$ 提出行列式
特别地，某行元素全为0，行列式的值为0。两行成比例，行列式的值为0。
4、如果某行元素是两个数之和，可把行列式拆成两个行列式之和
5、某行的 $k$ 倍加至另一行行列式值不变。

例题1：
$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2$ 都是三维列向量，若 $|\alpha_1\quad\alpha_2\quad\beta_1|=5，|\alpha_1\quad\beta_2\quad\alpha_2|=6,|\alpha_2\quad\alpha_1\quad\beta_1+\beta_2|=?$