第一章 行列式 第一节 二阶与三阶行列式

§1.1 二阶与三阶行列式

1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式

  用消元法求解二元方程组

$\left\{\begin{aligned} a_{11}x_{1}+ a_{12}x_{2} = b_{1},\\ a_{21}x_{1}+ a_{22}x_{2} = b_{2}. \end{aligned}\right. \tag {1}$

  当 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \neq 0$时，求得方程组(1)的解为：
$x_{1} = \frac{ b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}} {a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},\ \ \ \ \ \ \ \ x_{2} = \frac{ a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}} {a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}. \tag {2}$

  其中(2)式中的分母是由(1)式中的四个系数确定的，排成数表的形式
$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \tag{3}$
表达式 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ 称为数表(3)所确定的二阶行列式并记作
$\left| \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right| \tag{4}$
数 $a_{ij}\:\:(i=1,2;j=1,2)$称为行列式(4)的元素或元。元素 $a_{ij}$的第一个下标 $i$称为行标，表明钙元素位于第 $i$行，第二个下标 $j$称为列标，表明该元素位于第 $j$列，位于第 $i$行第 $j$的元素称为行列式(4)的 $(i,j)$元。

二元线性方程组的求解

  将(2)式中的分子也写成二阶行列式的形式，即
$b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2} = \left| \begin{array}{ccc} b_{1}&a_{12}\\ b_{2}&a_{22} \end{array} \right|,\ \ \ \ \ \ \ a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21} = \left| \begin{array}{ccc} a_{11}&b_{1}\\ a_{21}&b_{2} \end{array} \right|.$
若记
$D= \left| \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22} \end{array} \right|,\ \ \ \ \ D_{1}= \left| \begin{array}{ccc} b_{1}&a_{12}\\ b_{2}&a_{22} \end{array} \right|,\ \ \ \ \ D_{2}= \left| \begin{array}{ccc} a_{11}&b_{1}\\ a_{21}&b_{2} \end{array} \right|,$
那么(2)式就可以写成
$x_{1} = \frac{D_{1}}{D},\ \ \ \ \ \ x_{2} = \frac{D_{2}}{D}.$
二元一次方程组的解就由上式给出。

1.1.2 三阶行列式

  设有9个数排成3行3列的数表
$\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix} \tag{5}$
记

$\begin{aligned} \left| \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right| =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}, \end{aligned} \tag{6}$

式(6)称为数表(5)所确定的三阶行列式。

《线性代数》同济大学第五版笔记