线性代数 (二): 证明 A^T 乘以 A 为半正定矩阵

矩阵 $A$ 为半正定矩阵当且仅当存在非零的 $x$, 使得

$x^TAx >= 0$ 恒成立

设矩阵 $A$ 为任意 m * n 矩阵, $x$ 为任意非零 n 阶向量

记

$v = Ax$

则

$x^TA^TAx = (Ax)^T(Ax) = v^Tv >= 0$

所以矩阵

$A^TA$ 为半正定矩阵.

易知当 $r(A) = n$ 时 $A^TA$为正定矩阵