线性代数（二）

一、线性空间
1、空间中的向量满足八种运算，其结果仍在这个空间中，则称之为线性空间。
子空间的概念与之类似，是线性空间的子集，也满足上述的表述。下面给出一个子空间的示例。一个二维线性空间的子空间有：它自身，过原点的一条直线，原点。
如何由一个矩阵构造子空间？取其列向量进行线性相加即可构成列空间。
也可以通过一个方程组满足特定的条件，例如使得Ax=0，其解就构成了一个子空间。
2、方程可以从线性空间的角度来理解，一个方程组Ax=b若有解，则必然说明向量b在A所构成的列空间之中
二、求解Ax=b
1、主元的数目就是矩阵的秩，主元所在的列称为主列
2、方程的零空间等于特解的线性组合，特解的数目等于自由列的数目。
3、求解过程：首先求解一个特解，之后求解Ax=0的通解，相加即为其解空间。
4、当列满秩时，显然，没有自由列，因此，其零空间只有零向量，则Ax=b只有零或一个解；当行满秩时，因为消元没有零行故必有解；当满秩时，其只有唯一解，因此，秩包含了矩阵有多少解的信息