线性代数第二章--矩阵

方程组若干概念

n元齐次线性方程组
n元非齐次线性方程组
n元齐次线性方程组 (所有xi都为0一定是方程的解）

矩阵的若干概念

m*n个数的数表
任意一个数称之为元素
全为实数的称为实矩阵，存在复数的称之为复矩阵
行数和列数相等的称之为方阵
只有一行的矩阵称之为行矩阵又称之为行向量
只有一列的矩阵称之为列矩阵又称之为列向量
两个矩阵的行数和列数相等称之为同型矩阵
同型矩阵对应的元素相等记作A=B
系数矩阵 未知矩阵 常数项矩阵 增广矩阵
除对角线外，的都是0称之为对角矩阵
对角矩阵对角线上的值都为1，称之为单位阵。

矩阵的运算

1 矩阵的加法

只有同型矩阵才可以运算
A+B=B+A
A+(B+C) = A+B+C

2 数与矩阵相乘

（ $\lambda$ $\mu$ )A = $\lambda$( $\mu$A)
（ $\lambda$+ $\mu$ )A = $\lambda$A+ $\mu$A
$\lambda$(A+B) = $\lambda$A+ $\lambda$B

3 矩阵与矩阵相乘

满足结合律和分配率
(AB)C = A(BC)
（ $\lambda$)AB = ( $\lambda$A)B
A(B+C) = AB+AC

矩阵的转置

$(A^{T})^{T}$ = A
$(A+B)^{T}$ = $A^{T}$+ $B^{T}$
$(\lambda A)^{T}$ = $\lambda$ $A^{T}$
$(AB)^{T}$ = $B^{T}A^{T}$
$|A|^{T} = |A|$

方针的行列式

由方针构成的行列式
$|A^{T}|$ = $|A|$
$|\lambda A|$ = $\lambda^{n}|A|$
|AB| = $|A||B|$

伴随矩阵

行列式每个位置由代数余子式构成的矩阵转置称之为伴随矩阵
$AA^{*}$ = $A^{*}A$ = |A|E
$(a^{*})^*$ = $|A|^{n-2}$
$(kA)^{*} = k^{n-1}A^{*}$
$(AB)^{*}$ = $B^{*}A^{*}$
$|A^{*}| = |A|^{n-1}$
伴随矩阵求法定义法 公式法
|A|!=0 即A可逆 $A^{*} = |A|A^{-1}$

逆矩阵

定义 如果对于一个矩阵由AB=BA=E则称A是可逆的，B为A的逆矩阵
唯一： 逆矩阵存在唯一
定理1： 矩阵A可逆，则|A| != 0
定理2： $A^{-1}$ = $\dfrac {A^{\ast }}{\left| A\right| }$
AB = E 推出 B = $A^{-1}$
推论1：A 可逆 $A^{-1}$亦可逆 $(A^{-1})^{-1} = A$
推论2： $(\lambda A)^{-1}$ = $\dfrac {1}{\lambda }A^{-1}$
推论3：A,B可逆 AB亦可逆 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
推论4：| $A^{-1}$| = $|A|^{-1}$
求法：
1 用定义
2 用伴随
3 用初等变换
公式对比

转置	伴随	逆
$(A^{T})^{T}$ = A	$(a^{*})^*$ = $\|a\|^{n-2}$	$(A^{-1})^{-1} = A$
$(\lambda A)^{T}$ = $\lambda$ $A^{T}$	$(kA)^{*} = k^{n-1}A^{*}$	$(\lambda A)^{-1}$ = $\dfrac {1}{\lambda }A^{-1}$
$(AB)^{T}$ = $B^{T}A^{T}$	$(AB)^{*}$ = $B^{*}A^{*}$	$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
$\|A\|^{T} = \|A^{T}\|$	$\|A^{*}\| = \|A\|^{n-1}$	$\|A\|^{-1} = \|A^{-1}\|$
$(A+B)^{T}$ = $A^{T}$+ $B^{T}$	无	无

克拉默法则的推广

A = 系数矩阵
Aj = 1到j-1列 并 b 并 j+1 到 n

分块矩阵

分块矩阵的性质与普通矩阵类似
可理解为广义矩阵

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对角分块矩阵

反对角矩阵
附加：证明矩阵A=O 即证明 $A^{T}A = O$
AB != BA
$(A+B)^{2}!=A^{2}+B^{2}+2AB$
$A^{2}-B^{2}!=(A-B)(A+B)$
$A^{2}=0$ 不能推出A=0
$A^{2}=A$ 不能推出A=0或者A=E
AX=AY 且A!=0 不能推出X=Y