线性代数——矩阵正定性及二次型的矩阵表示

一. 判断矩阵正定性的方法（4种）

1.矩阵所有特征值为正 即λi>0

2.矩阵的所有主元为正数

3.矩阵的顺序主子式均为正数

4.矩阵表示的二次型为正

二.二次型矩阵形式及代数形式的转化

二次型与实对称矩阵的关系如下：

我们先来谈论最简单的情况，这里仅考虑二个变量，也是最常见的情况

设有2*2矩阵（注意，本文矩阵的正定性在矩阵为实对称矩阵情况下谈论）

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$
向量 X=
$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$

考虑X’AX的计算结果，即

a²+2bxy+cy²

由此公式可以实现代数形式的矩阵二次型向矩阵形式转化

三.以上为二维的情况，考虑n维的情况

1.定义：含有n个变量的二次齐次多项式称为二次型：

一定要注意这里是齐次多项式

2.二次型的求和号表示

3.示例

从所得到的A矩阵中，我们可以看出，矩阵对角线上的元素决定了平方项的系数，

而交叉项的系数被平均分配到了相应矩阵的位置中，

根据这条规律，我们就可以根据所给的二次型的代数形式直接写出相应的矩阵形式。