线性代数(二) 矩阵与线性变换

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  线性变换: 变换其实就是函数的另一种说法, 他同样是通过一个输入, 得到一个输出. 而在线性代数里, 我们之所以使用 “变换” 而不是 “函数”, 是为了暗示我们要用 “运动” 来思考这个问题.

  线性变换的两个性质

1. 原点位置不变.
2. 原来所有的直线在变换之后都还是直线.

  对于性质2, 我们可以这样理解: 把xy坐标平面按照单位长度的间距画成一张网格的形式, 在经过一个线性变换之后, 网格线之间应该仍然是平行且等距的(在相同方向上).
  考虑空间的基向量 $\vec{i_1}(1,0)$, $\vec{j_1}(0, 1)$ 以及他们的一个线性组合 $\vec{v_1} = 3\vec{i_1} + 2\vec{j_1}$. 现在对这个空间进行一个这样的变换: x方向拉伸2倍, y方向被拉伸$\sqrt 2$倍并顺时针旋转45°
  由于线性变换的两个性质, 我们发现一个现象: 变换之后的向量 $\vec{v_2}$, $\vec{i_2}$, $\vec{j_2}$ 仍然满足 $\vec{v_2} = 3\vec{i_2} + 2\vec{j_2}$
  把这个推论用术语来表达就是: $\vec{v_1}$ 是 $\vec{i_1}$ 和 $\vec{j_1}$ 的线性组合, 经过一个线性变换之后, $\vec{v_2}$ 仍然是 $\vec{i_2}$ 和 $\vec{j_2}$ 的相同的线性组合.

  看变换前后的基向量 $\vec{i_2}$ 是 $(2, 0)$, $\vec{j_2}$ 是 $(1, 1)$, 我们把它写成矩阵的形式:

$$\begin{align} \vec{v_2} &= 3\vec{i_2} + 2\vec{j_2}\\ &=3\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}3*2+2*1\\3*0+2*1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}8\\2\end{bmatrix}\\ \end{align}$$

  最后我们得到了一个向量 $(8, 2)$, 他表示了变换后的向量 $\vec{v_2}$ 用变换前的基 $\vec{i_1}$, $\vec{j_1}$ 的线性组合. 可以看出这是一个空间的转变.
  我们把 $\vec{i_2}$ 和 $\vec{j_2}$ 写进一个矩阵里, 这个矩阵就是这个变换的变换矩阵.

$$\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$$

  如果变换后 $\vec{i_2}$ 和 $\vec{j_2}$ 是线性相关的(比如共线了), 那么这个变换就使得空间发生了压缩 降维打击. 也就是说线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组。