线性代数 (一): 证明实对称矩阵特征向量正交

设矩阵 $A$有特征值 $\lambda_1$及特征向量 $\bold u, \lambda_2$及特征向量 $\bold v$

即

$A\bold u = \lambda_1 \bold u$

$A\bold v = \lambda_2\bold v$

则

$\bold v^T (A \bold u) = \lambda_2\bold v^T\bold u$

$(\bold v^T A)\bold u = (\bold v^T A^T)\bold u = (A\bold v)^T\bold u = \lambda_1\bold v^T \bold u$

所以

$\lambda_1\bold v^T\bold u = \lambda_2\bold v^T \bold u$

$(\lambda_1 - \lambda_2)\bold v^T \bold u = 0$

因为实对称矩阵的特征值互异 (必可对角化),
所以

$\lambda_1 =\not \lambda_2$

所以

$\bold v^T \bold u = 0$

得证.