这部分我们关注有正特征值的对称矩阵。如果对称性使得一个矩阵重要，那么所有特征值大于零这个额外属性则让这个矩阵真正特殊。但我们这里的特殊并不是稀少，事实上在各种应用中具有正特征值的对称矩阵非常常见，它们被称作正定矩阵。
我们可以通过检查特征值是否大于零来识别正定矩阵，但计算特征值是一项工作，当我们真正需要它们的时候我们可以进行计算，而如果我们仅仅想知道它们是否是正的，我们有更快的方式。
1. 正定矩阵的判断
首先，由于矩阵是对称的，所有的特征值自然都是实数。让我们以一个 2×2 的矩阵开始，
\[A = \begin{bmatrix} a&b \\b&c\end{bmatrix}\]
A 的特征值是正的当且仅当 \(a > 0\) 并且 \(ac-b^2>0\)。
如果 2×2 矩阵的特征值 \(\lambda_1>0\)，\(\lambda_2>0\)，那么它们的乘积等于行列式， \(\lambda_1\lambda_2=|A|=ac-b^2>0\)，它们的和等于矩阵的迹，\(\lambda_1+\lambda_2=a+c>0\)，所以 \(a\) 和 \(c\)都必须是正的。
A 的特征值是正的当且仅当主元是正的。
这连接了线性代数的两大部分，正的特征值意味着正的主元，反之亦然。而且，主元往往比特征值计算得更快。
- 基于能量的定义
\[Ax=\lambda x \to x^TAx=\lambda x^Tx=\lambda ||x||^2>0\]
所以，如果特征值大于零，\(x^TAx\) 对于所有的特征向量也大于零。事实上，不仅仅是特征向量，针对任意非零向量 \(x\)，上式也同样成立。
A 是正定的，如果有 \(x^TAx > 0\) 对任意非零向量都成立。
从这个定义中我们可以得出，如果 \(A, B\) 是对称的正定矩阵，那么 \(A+B\) 也是.
如果 \(R\) 的列是不相关的，那么 \(A=R^TR\) 是正定的。
\[x^TAx=x^TR^TRx=(Rx)^TRx=||Rx||^2\]
因为 \(R\) 的列是不相关的，所以针对任意非零向量 \(x\)，\(Rx \not = \boldsymbol{0}\)。
当一个对称的矩阵具有下列五个属性之一，那么它一定满足所有的属性。
-
- 所有的 \(n\) 个主元是正的。
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- 所有的 \(n\) 个左上行列式是正的，也就是 \(1×1, 2×2 \cdots n×n\) 的行列式。
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- 所有的 \(n\) 个特征值是正的。
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- \(x^TAx>0\) 除了零向量。
-
- \(A=R^TR\) 对于一个有着不相关列的矩阵 \(R\)。
2. 半正定矩阵
经常情况我们会在正定的边缘，行列式为零，最小的特征值为零，这些在边缘的矩阵被称为半正定矩阵。
\(A\) 的特征值为 5 和 0，左上行列式为 1 和 0，它的秩为 1，可以被分解为具有相关列的矩阵 \(R^TR\)。
如果将元素 4 增加一个任意小的数字，那么矩阵将会变成正定的。同样地， \(B\) 也可以写成 \(R^TR\) 的形式，但是 \(R\) 的列肯定是相关的。
3. 第一个应用：椭圆 \(ax^2+2bxy+cy^2=1\)
- 倾斜的椭圆和矩阵 A 联系在一起，\(x^TAx=1\)。
- 排好的椭圆和矩阵 \(\Lambda\) 联系在一起，\(X^T\Lambda X=1\)。
- 将椭圆排好的旋转矩阵则是特征向量矩阵 \(Q\)。
针对椭圆方程 \(5x^2+8xy+5y^2=1\)，我们有：
\[ \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 &4 \\ 4& 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 1 \quad A = \begin{bmatrix} 5 &4 \\ 4& 5 \end{bmatrix} \]
将 \(A\) 分解为 \(Q\Lambda Q^T\) 我们得到：
\[\begin{bmatrix} 5 &4 \\ 4& 5 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol 9&0 \\ 0&\boldsymbol 1 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \]
椭圆方程则也可以重写为：
\[5x^2+8xy+5y^2=1 = 9*(\frac{x+y}{\sqrt 2})^2+1*(\frac{x-y}{\sqrt 2})^2\]
可以看到，方程的系数是两个特征值 9 和 0，而在平方内部则是两个特征向量 \((1, 1)/\sqrt 2\) 和 \((1, -1)/\sqrt 2\)。椭圆的坐标轴是沿着特征向量的方向，这也就是为什么 \(A=Q\Lambda Q^T\) 被称作主轴定理，特征向量指出了坐标轴的方向，特征值则指出了长度。
将椭圆排好后，较大的特征值 9 给出了短半轴的长度 \(1/\sqrt \lambda_1 = 1/3\)，较小的特征值 1 给出了长半轴的长度 \(1/\sqrt \lambda_2 = 1\)。在 \(xy\) 系统中，坐标轴沿着 \(A\) 的特征向量的方向，而在 \(XY\) 系统中，坐标轴沿着 \(\Lambda\) 的特征向量的方向。
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