历届试题格子刷油漆

问题描述

　　X国的一段古城墙的顶端可以看成 2*N个格子组成的矩形（如下图所示），现需要把这些格子刷上保护漆。

　　你可以从任意一个格子刷起，刷完一格，可以移动到和它相邻的格子（对角相邻也算数），但不能移动到较远的格子（因为油漆未干不能踩！）
　　比如：a d b c e f 就是合格的刷漆顺序。
　　c e f d a b 是另一种合适的方案。
　　当已知 N 时，求总的方案数。当N较大时，结果会迅速增大，请把结果对 1000000007 (十亿零七) 取模。

输入格式

　　输入数据为一个正整数（不大于1000）

输出格式

　　输出数据为一个正整数。

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359635897

题中所提示的是动态规划

这个题就是先找规律分析，

当从角落开始时，就三种情况：

例如c[0][1]开始到c[1][1]结束，那么设从某一个角落开始到它邻近的角落结束的个数是a[n]，那么an=2*a[n-1],

从一个角落先经过邻近的角落在经过剩下的设从一个角落开始遍历的所有方法个数是 b[n],那么这样的方式总共个数为2*b[n-1]

如果从一个角落开始，中间过程（除了第二个经过）经过它邻近的角落，那么肯定是第三个经过，（画图分析得出），那这种方式总共的个数是2*2*b[n-2]

sum=an+2*b[n-1]+2*2*b[n-2]

sum=4*sum （因为有四个角落）

然后再分析从中间开始的，设第i列某一行的一个格子开始肯定是先遍历左边再右边，或者先右边再左边，肯定还要经过这一列的另一行的这个格子，

所以先左边看做是上面三种情况的第一种，右边是第二种就是说 a[i]*2*b[n-i],先右边是第一种，左边是第二种就是说a[n-i+1]*2*b[i-1]

每一列有两行，所以说是2 *（a[i]*2*b[n-i]+a[n-i+1]*2*b[i-1] ）

对每一列遍历累加最后加上角落的sum，就是最后结果

#include  <iostream>
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int long long  a[1003],b[1003];
int main()
{
    int n;
    long long int sum=0;
    cin>>n;
    if (n==1)
    {
    cout<<2;
    return 0;
}

    a[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
     a[i]=2*a[i-1]%MOD;
    b[1]=1;b[2]=6;
    for (int j=3;j<=n;j++)
    {
        b[j]=(a[j]+2*b[j-1]+4*b[j-2])%MOD;
    }
    sum=4*b[n];
    for (int i=2;i<=n-1;i++)
   sum=(sum+2*(2*a[i-1]*2*b[n-i]%MOD+2*a[n-i]*2*b[i-1]%MOD)%MOD)%MOD;
     cout<<sum;

}

下面是一开始我做的模拟一下线路（回溯递归）虽然对，但是超时，n越大时间越长，不可取，

#include <iostream>
using namespace std;
bool a[2][1001]={0};int length=0,n;long long int count=0;

void digui(int i,int j)
{
    if(length>=2*n-1){count++;
        count%=1000000007;
//        cout<<endl;
    }
    else
    {

    for(int k=-1;k<=1;k++)
     for (int l=-1;l<=1;l++)
     if(i+k>=0&&i+k<=1&&j+l<=n&&j+l>=1)
      {
      if (a[i+k][j+l]==1)
       {
         a[i+k][j+l]=0;
         length++;
//cout<<i+k<<" "<<j+l<<endl;
         digui(i+k,j+l);
         length--;
         a[i+k][j+l]=1;
       }
      }

    }
}
int main()
{
    //输入一个正整数
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++)
       {
         a[0][i]=1;
         a[1][i]=1;
       }

   for (int i=0;i<2;i++ )
     for (int j=1;j<=n;j++)
{
       a[i][j]=0;
       digui(i,j);
       a[i][j]=1;

}
       cout<<count;
}

历届试题格子刷油漆

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