蓝桥杯 PREV-15 格子刷油漆（dp）

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PREV-15 格子刷油漆

思路：

这个 $2*n$的城墙，我们将四个端点和非端点分开考虑；
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我们设 $dp[n]$为：有 $n$列时，从某一端点为起点，一共多少种刷漆方法；
从端点开始我们有：
（1）向上/下刷： 右边就变成 $2*(n-1)$的情况，而此时我们可以移到右边 $2*(n-1)$方格的 两个 端点，因此： $dp[n] = dp[n] + 2dp[n-1]$；
（2）向右刷一格，然后再往左刷第一列剩下的一格，然后再往右刷第二列剩下的一格： 右边变成 $2*(n-2)$的情况，而在第一次往右时有两个选择，在刷完 $2*2$时往右又有两个选择，因此： $dp[n]=dp[n]+4dp[n-2]$；
（3）往右刷一格，之后再往右，最后回到第一列：此时在抵达右端点之前是不能回头或者刷同一列的，每次往右都有 $2$个选择，一共选择 $n-1$次，因此： $dp[n]=dp[n]+2^{n-1}$；
综上从端点开始刷的选项，递推式为： $dp[n]=2dp[n-1]+4dp[n-2]+2^{n-1}\quad(n>2)$
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而从第 $i(1<i<n)$列某个格子开始我们有：
（1）往左刷，然后再回到第 $i$列： 往左刷的步骤与上面的（3）相同，左边一共 $2^{i-1}$种情况，此时右边变成 $2*(n-i)$的情况，而往右时有两个端点可以选，因此一共 $2^{i-1}*2*dp[n-i]$种方法；
（2）往右刷，然后再回到第 $i$列： 该方法与（1）互为镜像，因此一共 $2^{n-i}*2*dp[i-1]$种方法；
我们知道每一列都有两个格子可以选，因此不从端点开始的选项一共有：
$f(n)=2*\sum\limits_{i=2}^{n-1}(2^{i-1}*2*dp[n-i]+2^{n-i}*2*dp[i-1])$种方法；
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四个端点皆可作为起点，因此最后的答案就是 $4*dp[n]+f(n)$

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 1005;
const ll mod = 1000000007;
ll dp[maxn];
inline ll pow_mod(ll a, int n) {
	for(ll res = 1;; n >>= 1) {
		if(!n) return res;
		if(n & 1) res = (res * a) % mod;
		a = (a * a) % mod;		
	}
}

int main() {
#ifdef MyTest
	freopen("Sakura.txt", "r", stdin);
#endif
	int n;
	cin >> n;
	dp[1] = 1, dp[2] = 6;
	for(int i = 3; i <= n; i++) {
		dp[i] = (2 * dp[i - 1] + pow_mod(2, i - 1) + 4 * dp[i - 2]) % mod;	
	}
	ll ans = 0;
	for(int i = 2; i < n; i++) {
		ans = (ans + pow_mod(2, i) * dp[n - i] % mod + pow_mod(2, n - i + 1) * dp[i - 1] % mod) % mod;	
	}
	cout << (2 * ans + 4 * dp[n]) % mod;
	return 0;
}