历届试题 格子刷油漆
问题描述
在一个长为n（待输入的一个正整数<=1000），高为2的格子里面对每个格子进行刷漆
规则是在其相邻格子（包括对角相邻）间可以进行一步的位移，最后输出所有的刷漆方案
由于这里n的单位增长会使得结果猛然增加，因此最后的结果要求对1000000007进行取余（十亿零七）
样例输入：2 样例输出：24
样例输入：3 样例输出：96
样例输入：22 样例输出：359635897
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分析：
对于本题模型：在已知几个基本行走方式的前提下去推算行走路线数量
显然这里面是存在着很强的递推关系的，即每一个行走路线的确定是会和前面的有关
因此这里需要去寻找动态转移方程
而寻找动态转移方程，那就又回到了这个模型的本身，接下来我们来推理这个过程：
对于刷漆而言，你的出发点在总体上分为两大类：
- 从四个顶点之一出发
- 从中间出发
（一）首先我们来分析一下从顶点出发的模型
情况①，第一步走同一列的另一个格子，然后走下一列，接着重复这个过程，如下图：
即A->B,接下来B就可以到C或者D。假设到了C，则此后C->D,然后D又可以到E或者F，这样反复执行这个过程，直到最后走到最后一列为止（即走完了所有的格子）。
这种情况（一趟过去）我们用数组a来表示，则可以把问题规模由a[i]转换成a[i-1]
于是得到状态转移方程：a[i]=2 ╳ a[i-1]
情况②，第一步走另一列，然后又走下一列，然后……当走到最后一列之后再走同一列的另一个，最后返回。返回时，由于格子的高度为2，那么之后返回时，其路径是唯一的，如下图：
即A->C或者A->D，之后的起点则为C或者D，假设为C，然后你可以（C->E或者C->F），反复执行上面这种往下一列延伸的方式，直到最后走到了最后一列，这时候你无路可走，为了走完所有格子你必须返回到B点。需要注意的是，由于高度为2，回退时，对于每一列而言都已经走过了其中某一格，那么其回退的路径即已经固定了（即回退过程唯一，不用再管）
这种情况用数组b来表示，则可以把问题规模由b[i]转换成b[i-1]
于是得到状态转移方程：b[i]=2 ╳ b[i-1]
情况③，第一步走另一列再到同一列的另一个格子再到另一列，如下图：
即A->C->B->D或者A->D->B->C，假设最后到了C，则C又可以到E或者F，然后由其中任意点再返回到D，最后再去其中的另一个点，如此反复执行这个过程，即是在不断地往后面一列推进，直到最后一列（这种情况下显然是有点同①相似，即一次性遍历完所有格子，也就不再需要像②那样返回）
于是这种不用返回的情况我们同样也用数组a来表示，就把问题规模转换成了a[i-2]
于是得到状态转移方程：a[i]=2 ╳ 2 ╳ a[i-2]
说明：第一个2乘的是(选C或者D)，而第二个2乘的是(选E或者F)
综上便分析出了所有的基础遍历方式
于是得到转移方程：a[i] = 2 ╳ a[i-1] + b[i] + 2 ╳ 2 ╳ a[i-2]
而顶点有4个，于是最后的总的遍历方案sum=4 ╳ a[i]
（二）接下来分析从中间出发的方式（见下图）
假设我们从图中i=3(E点)处出发（以i为分割线，将图分为左边的ABCDEF以及右边的GHIJ），为了遍历所有格子，我们需要先走完左边的这个整体（特别注意：这里必须倒回到F才能继续走右边），然后再把右边视为以G或者H为起点的一组格子将其走完（因此这里需要乘以2，两种起点出发嘛）。
分析上述的流程，可以得到从中间出发的方案数为：( b[i] ) ╳ ( 2 ╳ a[n-i] )
同理，我们可以先走右边的EFGHIJ，然后再走左边的ABCD
这样的方案数为：(b[n-i+1]) ╳ (2 ╳ a[i-1])
由于上面的所有起始点都是以E为出发点行走的，我们同理也可以以F为起点出发，那么从第i列开始刷漆的方法就有:[ b[i] ╳ (2╳a[n-i]) + (b[n-i+1]) ╳ (2╳a[i-1]) ] ╳ 2
所以最终的方案数sum为：sum = 4╳a[n] + 2 ╳ 2 ╳ ( b[ i ] ╳ a[ n-i ] + b[ n-i+1 ] ╳ a[ i-1 ])
现在递推公式已然得出，最后的一步就是，初值的确定
根据上面的公式可以看出，在循环中i最低需要从3开始，因为a[0]或者b[0]无意义嘛
所以下面我们需要手动地给出i=1和2的情况：
a[1]=1; //显然只有一种情况
a[2]=6; //a[2]=2+2+2由（一）中的三种子情况分别得出
情况①：
情况②：
情况③：
b[2]=2; //显然这种情况下只能是两种，对应上图的情况②
b[1]=1; //b这种刷漆方式至少需要两个格子（即最低i=2），所以b[1]严格意义上说来是0，但是由于b[2]=2，且存在公式b[i]=2*b[i-1]，故这里反推b[1]=1
下面给出本题的完整代码：
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#include<iostream>
using namespace std;
const int MOD=1000000007;
int main()
{
int n,i;
cin>>n;
if(n==1)
{
cout<<2<<endl;
return 0;
}
long long a[1005],b[1005];
a[1]=1,a[2]=6;
b[1]=1,b[2]=2;
for(i=3;i<=n;i++) //一个顶点出出发
{
b[i]=(2*b[i-1])%MOD; //边操作边取余
a[i]=(2*a[i-1]+b[i]+4*a[i-2])%MOD;
}
long long sum=4*a[n]; //4个顶点(特别注意这里的sum的数据类型需要用long long，否则这里是有可能在乘以4后数据溢出的)
for(i=2;i<n;i++) //从中间开始，注意i的范围是大于1小于n
sum=(sum+4*(b[i]*a[n-i]+b[n-i+1]*a[i-1]))%MOD;
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
