麻省理工线性代数第二讲

课程第二讲的核心内容主要包括三部分：

1. 消元法
2. 矩阵初等变换
3. 可逆矩阵

消元法

消元法，顾名思义就是消去未知数，当只剩下一个未知数的时候，就可以求出该未知数的值，然后再相继求得其他未知数的值。其中主对角线元素为主元，主元不能为0。
考虑方程组如下：
x + 2y + z = 2
3x + 8y + z = 12
0x + 4y + z = 2
用AX=b表示则：

将系数矩阵与b放在一起记为增广矩阵，（课程中一开始并未考虑b，这里为方便将b考虑进去。）如下：

增广矩阵的第一个元素为主元一，值为1，方程组1成立，此时发现方程组2中还有未知数x的，方程组3不包含x，因而让方程组2-3方程组1,（下文描述为R2-3R1），增广矩阵变成第二个，第二行第二列元素为主元二，值为2，再查看矩阵，发现第三个方程组y的系数不为0，则用R3-2*R2消元，得到矩阵3.

这样，第三个方程就变成了5z=-10，可以解出z=-2,再将z=-2带回第二个方程解出y=1,继续回代得到x=2.

上文已经说过主元不能为0，但在用消元法解方程时不可避免地会遇到主元为0，如下图，此时将R1和R2互换即可。

如果遇到下图时，就需要使用其它办法求解方程了，解决方法以后再讲。

矩阵初等变换

初等矩阵：指将单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，初等变换包括：（1）交换 矩阵中某两行（列）的位置。（2）用一个非零 常数k乘以矩阵的某一行（列）（3）将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。
在上一讲中已经介绍，AX=b，就相当A的列向量按X的线性组合得到b.
例如：

F其实就是将单位矩阵的第一行和第二行互换，因而也可以记为

如上图可以看出，AX的结果是X对A的列向量进行倍乘然后相加。
而如果是DA，其中D为行向量，则DA计算如下图：

从图中可以看出，同样对矩阵A来说，乘在矩阵A的右侧相当于对A的列向量进行操作，乘在矩阵A的左侧相当于对矩阵A的行向量进行操作，对更复杂的X和D也是一样的，这里简称左行右列。
计算FA：

F第一行与A的乘积：

第二三行类似：

因此FA的结果为：

可以看出FA=A的结果就是将A的第二行和第三行交换。类似，AF=A的结果即为将A的第二列和第一列交换后的结果。
如果矩阵那么FA的结果就是将A的第二行变成R2-2*R1。

可逆矩阵

只有方阵才可以考虑是否可逆。矩阵A可逆，则意味着用一系列初等矩阵乘A可以得到单位矩阵。