学习视频来源:麻省理工公开课_线性代数导论 讲师:Gilbert Strang
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Lecture 4 A的LU分解
Basic facts 基础公式
inverse of a product 乘积的逆
已知 和 两个矩阵的逆,求 的逆。易见 ,而 ,因此 (关于乘积的逆的顺序,老师这里举了一个很有意思的例子:就像先脱鞋子再脱袜子,其逆动作应该是先穿袜子再穿鞋子)。
inverse of a transpose 转置的逆
,分别对等号两边进行转置。单位矩阵行列转换后还是单位矩阵。而左边要分别转置两个矩阵,再以相反顺序相乘(转置的运算规则),因此 ,又因为 ,所以 。对于单个矩阵而言,转置和逆两种运算的顺序可以颠倒。
A=LU
消元的目的,是为了正确认识矩阵的概念。 是最基础的矩阵分解。
主元都不为 0
假设有可逆矩阵 ,可以进行消元,主元都不为 0,最终得到矩阵 。从 到 的联系,就有了lower matrix 矩阵 。
- 矩阵
<=> ,变成 的形式为 ,显然这里
- 矩阵
假设无行互换,只需要如下消元步骤得到 : 。 , 。
- 为什么要用 的形式?
接着计算逆
消元乘数还在 里。如果我们要求出 ,若不存在行互换,则不需要任何运算,只需要把所有消元乘数都写进来。
对于一个 的矩阵 ,需要进行多少次消元?
每一步确定一个主元需要的步数依次递减 , ,··· (除了第一列的下面那些元素变 0 以外,其他列的元素也要相应的做乘法和加法的运算,运算次数针对的对象是每一个元素,并非每一行。一个行做一次运算相当于这行的 个元素都要做运算,所以第一次一共是 ),他们的总和为什么约等于 ? 我们其实可以用微积分来考虑。对 积分可以得到 。微积分考虑的是连续情况下的“求和”,而线性代数是离散的。主元存在 0
- 置换
置换矩阵可以用来进行行互换。列出所有 置换行的矩阵: , , , , , 。两两相乘这些矩阵,以及这些矩阵的逆,结果还是在这 6 个当中。而且我们还可以发现置换矩阵一个很奇妙的特性:其逆等于其转置。
- 置换