麻省理工大学线性代数导论笔记 - Lecture 9 线性相关性、基、维数

学习视频来源：麻省理工公开课_线性代数导论 讲师：Gilbert Strang

http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html

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Lecture 9 线性相关性、基、维数

linear independence & linear dependence 线性无关和线性相关

向量组（而非矩阵）${x_1,x_2,...x_n}$线性无关的条件：对向量进行线性组合使其为0：$c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n=0$，如果只存在一种解：$c_1=c_2=...=c_n=0$，则它们是线性无关的。否则，线性相关。

那么对$m×n$的矩阵$A$来说，若$A$的零空间$N(A)$里存在非零向量，那么$A$的各列相关；若零空间内只有零向量，则各列不相关。用矩阵的秩（主元个数）来判定时：若各列不相关，则$A$没有自由列，所有的列都为主列（自由列本质上是主列的线性组合），秩为$n$；若各列相关，秩小于$n$。

spanning a space 生成空间

前文提到过，已知矩阵里面有一些列向量，这些列向量的所有线性组合将生成一个“列空间”。

设向量组为${x_1,x_2,...x_n}$，其生成的空间意味着这把向量组的所有线性组合的结果放到一个空间里面。

那么这些向量是无关还是相关？可能是，可能不是。我们关注既能生成空间，又是线性无关的向量组。这意味着向量的个数必须适中。如果向量个数不足，则无法生成需要的空间；如果个数过多，则会线性相关。因此我们给定这样的向量组一个定义：basis 基。基的准确定义是：线性无关，并能生成整个空间的一系列向量。

如何检验一个向量组能否构成基？我们可以把向量组里的向量当作矩阵的列向量。通过消元和行变换，观察是否会得到自由变量，是否只有主列。

设有两个向量$\left (\begin{array}{ccc} 1\\ 1\\ 2 \end{array} \right)$，$\left (\begin{array}{ccc} 2\\ 2\\ 5 \end{array} \right)$。它们是$\mathbb R^3$的基吗？不，它们构成了一个平面空间，所以是$\mathbb R^2$的基。假如又加进来一个向量$\left (\begin{array}{ccc} 3\\ 3\\ 7 \end{array} \right)$，这时候三个向量线性相关，所以仍然只构成$\mathbb R^2$的基。加入$\left (\begin{array}{ccc} 3\\ 4\\ 8 \end{array} \right)$则可以构成$\mathbb R^3$的基。实际上任取可逆的$3\times 3$矩阵，其列都是$\mathbb R^3$的基，列空间都是$\mathbb R^3$。

以上可总结出：若$n \times n$的方阵可逆，则方阵中的$n$个向量构成$\mathbb R^n$的基。每个基的向量个数都是$n$ 。

那么对基包含的向量个数$n$，我们还可以给出一个定义：空间的dimension 维数。

我们可以得出两个结论：

矩阵$A$的秩（主变量的个数）是$A$的列空间$C(A)$的维数。

矩阵$A$的自由变量的个数是$A$的零空间$N(A)$的维数。