高数 复合函数

复合函数的极限

  • “且存在。。。” 这句话的意思是,存在无数个点使 g(x) 不等于 u0,这个条件是不可少的
    假设这个条件不成立,即最多只有有限个点使g(x) 不等于 u0,则
    x -> x0时,整体函数的极限必为f(u0),此时若定理还要成立,即要求外函数的极限也等于f(u0),即要求外函数在点u0是连续的,显然外函数在点u0可以不连续。

  • 所以去掉上述条件,定理依然成立的要求是,外函数在点u0连续,且此时的极限值就是f(u0)

复合函数的连续性

说明:

  • 外函数连续保证整体函数的极限是f(u0)
  • 内函数连续保证了u0 = g(x0)

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