高数题型总结-函数 极限 连续

1. 函数 极限 连续

1.1 求分段函数的复合函数

题型: 这种题型常以f[g(x)]或者f[f(x)]的形式出现

思路: 画出g(x)的图像, 将g(x)的值域按照f(x)的定义域进行划分, 这样x轴被分割成几段. 画出f(x)的图像, 将x再进行划分, 这样得到最后的x轴分割结果. 按照分段情况进行讨论

例题:

1. 李王全书: p6.例1,例2

1.2 0/0型, ∞/∞型, 0.∞型, ∞-∞型的极限

题型: 通常以f(x)/g(x)或者根号式之间的加减出现

• 能整体用无穷小替换就替换(注意不能局部替换, 必须是全局替换), 替换时尽量用x的幂次来替换.
• 对于上方有根号式的, 上下同乘因式.
• 对于下方有根号式的, 一般需要同除x, 注意x趋近于+∞还是-∞, 这影响到下方根式的正负号.
• 如果满足洛必达的条件就可以使用洛必达, 但是注意可以结合无穷小来使用洛必达.
• 如果上下式中一方出现积分式, 那么就一定要使用洛必达.
• 如果上下方某一小部分式子可以化为常数值就要化为常数值, 比如x→0时, (1+cosx)→1. 同时合理使用极限式的四则运算法则.
• ∞-∞型通常办法为化为0/0型来进行计算

• 1^∞ 通常将其使用${ (1+z) }^{ \frac { 1 }{ z } }$趋近于e来替换. 或者使用u^v = e^vlnu 进行转化后再计算

  1. 李王全书: p13.例1,例2,例3,例4,例5,例9

1.3 已知一个极限值, 求参数或者另一个极限

题型: 如题

• 利用佩亚诺余项的泰勒公式展开后对比得到系数, 或者不断洛必达然后对比得到系数, 推荐前一种方法.

• 求另一个极限往往通过各种转化的方法来得到

  1. 李王全书: p19.例11

1.4 含有|x|, e^1/x , [x]或者x→0的极限

题型: 如题

分类讨论x→0- 与 x→0+来讨论

1. 李王全书: p21.例14

1.5 无穷小的比较

题型: 如题

除以x^k, 然后使用洛必达和无穷小来确定无穷小的阶数

1. 李王全书: p21.例15

1.6 数列的极限

题型: 求n→∞时的数列第n项的值, 递推形式给出的数列的极限, 求n→∞时的分段表达式

• 求n→∞时的数列第n项的值往往化为积分式来归结
• 令第n+1项与n项相等可以得到上/下界, 然后第n+1项减第n项可得到单调性

• 注意n→∞时的到底是哪个项主导, 然后使用夹逼定理得到分段表达式

  1. 李王全书: p22. 例16,例17,例18

1.7 判断复合函数的极限存在性

题型: 已有f(x),g(x), 判断二者复合函数的存在性

结合具体题型分析

1. 李王全书: P26.例20

1.8 间断点的判别与零点问题

题型: 如题

知道四种间断点和介值定理与零点定理即可, 随机应变

1. 李王全书: P31.例4