【高数+复变函数】Laplace变换的卷积与逆变换
回顾在Fourier变换中的卷积定理：【高数+复变函数】傅里叶变换的性质
定义：设函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) 和 f 2 ( t ) f_2(t) f2(t) 都是 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞) 上的 绝对可积函数, 积分
∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) \mathrm{d} \tau ∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ
称为函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) 和 f 2 ( t ) f_2(t) f2(t) 在区间 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞) 上的卷积. 记 为 ( f 1 ∗ f 2 ) ( t ) \left(f_1 * f_2\right)(t) (f1∗f2)(t) 或 f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) f_1(t) * f_2(t) f1(t)∗f2(t)。
一、Laplace变换的卷积定理
与傅里叶的卷积定理相同，只是前置条件是要满足Laplace变换存在定理
定理：设 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) 和 f 2 ( t ) f_2(t) f2(t) 满足Laplace变换 存在的条件, 即存在 M > 0 M>0 M>0 和 s 0 > 0 s_0>0 s0>0, 使得
∣ f 1 ( t ) ∣ ≤ M e s 0 t , ∣ f 2 ( t ) ∣ ≤ M e s 0 t . \left|f_1(t)\right| \leq M e^{s_0 t},\left|f_2(t)\right| \leq M e^{s_0 t} . ∣f1(t)∣≤Mes0t,∣f2(t)∣≤Mes0t.
如果 F 1 ( s ) = L [ f 1 ( t ) ] , F 2 ( s ) = L [ f 2 ( t ) ] F_1(s)=\mathfrak{L}\left[f_1(t)\right], F_2(s)=\mathfrak{L}\left[f_2(t)\right] F1(s)=L[f1(t)],F2(s)=L[f2(t)]，则 L [ ( f 1 ∗ f 2 ) ( t ) ] = F 1 ( s ) F 2 ( s ) \mathfrak{L}\left[\left(f_1 * f_2\right)(t)\right]=F_1(s) F_2(s) L[(f1∗f2)(t)]=F1(s)F2(s),
应用：常用于求某些函数的逆变换
例 求 f ( t ) = L − 1 [ s 2 ( s 2 + 1 ) 2 ] f(t)=\mathfrak{L}^{-1}\left[\frac{s^2}{\left(s^2+1\right)^2}\right] f(t)=L−1[(s2+1)2s2]
解： F ( s ) = s s 2 + 1 × s s 2 + 1 , L − 1 [ s s 2 + 1 ] = cos t F(s)=\frac{s}{s^2+1} \times \frac{s}{s^2+1}, \quad \mathfrak{L}^{-1}\left[\frac{s}{s^2+1}\right]=\cos t F(s)=s2+1s×s2+1s,L−1[s2+1s]=cost
∴ f ( t ) = cos t ∗ cos t = ∫ 0 t cos τ cos ( t − τ ) d τ = 1 2 ∫ 0 t [ cos t + cos ( 2 τ − t ) ] d τ = 1 2 ( t cos t + sin t ) . \begin{aligned} \therefore f(t) & =\cos t * \cos t=\int_0^t \cos \tau \cos (t-\tau) \mathrm{d} \tau \\ & =\frac{1}{2} \int_0^t[\cos t+\cos (2 \tau-t)] \mathrm{d} \tau \\ & =\frac{1}{2}(t \cos t+\sin t) . \end{aligned} ∴f(t)=cost∗cost=∫0tcosτcos(t−τ)dτ=21∫0t[cost+cos(2τ−t)]dτ=21(tcost+sint).
二、逆变换
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逆变换定理
利用Laplace变换的完全形式来推导逆变换 f ( t ) f(t) f(t)：
f ( t ) u ( t ) e − β t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) u ( τ ) e − β τ e − i ω τ d τ ] e i ω t d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( β + i ω ) e i ω t d ω ( t > 0 ) , f(t) u(t) e^{-\beta t}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) u(\tau) e^{-\beta \tau} e^{-i \omega \tau} \mathrm{d} \tau\right] e^{i \omega t} \mathrm{~d} \omega \\ =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\beta+i \omega) e^{i \omega t} \mathrm{~d} \omega(t>0), \\ f(t)u(t)e−βt=2π1∫−∞+∞[∫−∞+∞f(τ)u(τ)e−βτe−iωτdτ]eiωt dω=2π1∫−∞+∞F(β+iω)eiωt dω(t>0), 之后两边同乘 e − β t e^{-\beta t} e−βt，再做变量代换可得
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( β + i ω ) e ( β + i ω ) t d ω = 1 2 π i ∫ β − i ∞ β + i ∞ F ( s ) e s t d s ( t > 0 ) , f(t) =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\beta+i \omega) e^{(\beta+i \omega) t} \mathrm{~d} \omega =\frac{1}{2 \pi i} \int_{\beta-i \infty}^{\beta+i \infty} F(s) e^{s t} \mathrm{~d} s(t>0), f(t)=2π1∫−∞+∞F(β+iω)e(β+iω)t dω=2πi1∫β−i∞β+i∞F(s)est ds(t>0),
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计算方法
定理 设 s 1 , s 2 , ⋯ , s n s_1, s_2, \cdots, s_n s1,s2,⋯,sn 是 F ( s ) F(s) F(s) 的所有孤立奇点(有限个), 除这些点外, F ( s ) F(s) F(s) 处处解析, 且存 在 R 0 > 0 R_0>0 R0>0, 当 ∣ s ∣ ≥ R 0 |s| \geq R_0 ∣s∣≥R0 时, ∣ F ( s ) ∣ ≤ M ( r ) |F(s)| \leq M(r) ∣F(s)∣≤M(r), 其中 M ( r ) M(r) M(r) 是 r r r 的实函数, 且 lim r → + ∞ M ( r ) = 0 \lim _{r \rightarrow+\infty} M(r)=0 limr→+∞M(r)=0. 选取 β \beta β, 使所有 孤立奇点都在 Re s < β \operatorname{Re} s<\beta Res<β 内, 则当 t > 0 t>0 t>0 时,
f ( t ) = 1 2 π i ∫ β − i ∞ β + i ∞ F ( s ) e s t d s = ∑ k = 1 n Res [ F ( s ) e s t , s k ] f(t)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\beta-i \infty}^{\beta+i \infty} F(s) e^{s t} \mathrm{~d} s=\sum_{k=1}^n \operatorname{Res}\left[F(s) e^{s t}, s_k\right] f(t)=2πi1∫β−i∞β+i∞F(s)est ds=k=1∑nRes[F(s)est,sk]由留数定理证明，之后的使用方法和留数相同
例：求 F ( s ) = 1 s ( s − 1 ) 2 F(s)=\frac{1}{s(s-1)^2} F(s)=s(s−1)21 的Laplace逆变换.
解 s 1 = 0 s_1=0 s1=0 和 s 2 = 1 s_2=1 s2=1 分别是 1 s ( s − 1 ) 2 e s t \frac{1}{s(s-1)^2} e^{s t} s(s−1)21est 的 1 级 和 2 级极点. 故由计算留数的法则：
Res [ 1 s ( s − 1 ) 2 e s t , 0 ] = lim s → 0 e s t ( s − 1 ) 2 = 1 , Res [ 1 s ( s − 1 ) 2 e s t , 1 ] = lim s → 1 [ e s t s ] ′ = e t ( t − 1 ) , L − 1 [ 1 s ( s − 1 ) 2 ] = 1 + e t ( t − 1 ) ( t > 0 ) . \begin{aligned} & \operatorname{Res}\left[\frac{1}{s(s-1)^2} e^{s t}, 0\right]=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{e^{s t}}{(s-1)^2}=1, \\ & \operatorname{Res}\left[\frac{1}{s(s-1)^2} e^{s t}, 1\right]=\lim _{s \rightarrow 1}\left[\frac{e^{s t}}{s}\right]^{\prime}=e^t(t-1), \\ & \mathfrak{L}^{-1}\left[\frac{1}{s(s-1)^2}\right]=1+e^t(t-1)(t>0) . \end{aligned} Res[s(s−1)21est,0]=s→0lim(s−1)2est=1,Res[s(s−1)21est,1]=s→1lim[sest]′=et(t−1),L−1[s(s−1)21]=1+et(t−1)(t>0).