1.2.1 高数小贴士——函数极限（一）

上一篇总结和记录了数列极限的一些内容，不讲废话，本篇 的内容是函数极限。

函数在x→a处的极限

引子

y=x²+1

如上图所示，自变量x从左右两边向x=1接近时，y=x²+1的值接近于2

y=(x²-1)/(x-1)

在这个函数中，自变量x从左右两边向x=1接近时，y=(x²-1)/(x-1)的值接近于2，但是x=1处是取不到的

定义

对于任意的ε>o，存在δ>0,当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称x->a时f(x)以A为极限。

注解

• ε具有任意性
• x->a，x≠a
• x->a包含从左右两端趋向a
• δ在此处表示一个范围，0<|x-a|<δ为x=a的一个去心邻域，在引子部分的两个图可以看出函数在x=a处的极限与f(a)无关，x=a这一点是不取的，因此0<|x-a|
• 函数的极限存在，表示函数的左极限和右极限同时存在且相等，但是在一些情况下，左右极限时需要分别考虑的（如分段函数。前提条件不变，0<|x-a|<δ是a的δ去心邻域，x∈(a-δ,a)是x从左侧趋近a时的区间，x∈(a,a+δ)是x从右侧趋近a的区间，三种情况的极限分别为f(x)在x=a处的极限、左极限和右极限
  
• f(x)=A (x→a) <=> f(a-0)，f(a+0)存在且相等，换句话说，如果函数在一点的左极限或右极限不存在，或者二者存在但不等，则函数在这一点的极限不存在

例题

例1

例2

函数在x→∞时的极限。

引子

y=arctan x

当x→-∞时，arctan x 以-π/2为极限，当x→+∞时，arctan x 以π/2为极限

y=e^-x2+1

当x→-∞时，e^-x2+1 以1为极限，当x→+∞时，e^-x2+1以1为极限，即当x→∞时，e^-x2+1以1为极限

定义

• Case 1:任意的ε>0，存在X>0，当x>X时，|f(x)-A|<ε，f(x)→A (x→+∞)
• Case 2:任意的ε>0，存在X>0，当x<-X时，|f(x)-A|<ε，f(x)→A (x→-∞)
• Case 3:任意的ε>0，存在X>0，当|x|>X时，|f(x)-A|<ε，f(x)→A (x→∞)

例题

例1

总结