【高数+复变函数】傅里叶变换

上一节 【高数+复变函数】傅里叶积分

回顾：上一节中主要讲了Fourier积分公式的指数形式及其三角形式
$$\begin{gathered} f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega \tau }\mathrm{d}\tau \right]{\mathrm{e}}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega \\ =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )\cos \omega (t-\tau )\mathrm{d}\tau \right]\mathrm{d}\omega \end{gathered}$$并根据奇函数和偶函数对三角形式进行了进一步的化简：

当 $f(t)$ 是奇函数时:
$$f(t)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\left[{\int }_0^{+\infty }f(\tau )\sin \omega \tau \mathrm{d}\tau \right]\sin \omega t\mathrm{d}\omega .$$当 $f(t)$ 是偶函数时:
$$f(t)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\left[{\int }_0^{+\infty }f(\tau )\cos \omega \tau \mathrm{d}\tau \right]\cos \omega t\mathrm{d}\omega .$$并给出了Fourier积分定理需满足的条件：

• $1^{\circ }f(t)$ 在任一有限区间上满足 Dirichlet 条件;
• $2^{\circ }f(t)$ 在无限区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上绝对可积 (即积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(t)|\mathrm{d}t$ 收敛)

这一节我们来看傅里叶变换

【高数+复变函数】傅里叶变换

3 傅里叶变换

3.1 基本概念

定义 :若函数$f(t)$在$(-\infty ,+\infty )$上满足 Fourier 积分定理的条件,则称函数
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t){\mathrm{e}}^{-j\omega t}\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
为f(t)的Fourier 变换，而称函数
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega ){\mathrm{e}}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega \text{\hspace{1em}(1.2)}$$
为 F(w)的 Fourier 逆变换。

(1.1)式叫做f(t)的Fourier变换式，可记为$F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]$,$F(w)$叫做$f(t)$的象函数

(1.2)式叫做F(t)的Fourier逆变换式，可记为$f(t)={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )]$,$f(t)$叫做$F(w)$的象原函数

可以说象函数 F(w)和象原函数f(t)构成了一个 Fourier 变换对,它们有相同的奇偶性

当$f(t)$为奇函数时，有正弦傅里叶变换对：
$$F_s\left(\omega \right)={\int }_0^{+\infty }f(t)\sin \omega \mathrm{td}t,f(t)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{+\infty }{F}_s(\omega )\sin \omega \mathrm{td}\omega \text{\hspace{1em}(1.3)}$$
当$f(t)$为偶函数时，有余弦傅里叶变换对：
$$F_c(\omega )={\int }_0^{+\infty }f(t)\text{cos}\omega \text{td}t,f(t)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{+\infty }{F}_c(\omega )\text{cos}\omega \text{td}\omega \text{\hspace{1em}(1.4)}$$

3.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换

在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为 t=0)进入一单位电量脉冲,在普通导数定义下这一点处导数不存在,为了确定这种电路上的电流,必须引进一个新的函数,这个函数称为单位脉冲函数或称为 Dirac 函数

定义 对于任何一个无穷次可微的函数$f(t)$如果满足
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)f(t)\mathrm{d}t=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }_{\epsilon }(t)f(t)\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(1.5)}$$
其中
$${\delta }_{\epsilon }(t)=\{\begin{array}{l}0,t<0,\\ \frac{1}{\epsilon },0\le t\le \epsilon ,\\ 0,t>\epsilon ,\end{array}\text{\hspace{1em}(1.6)}$$
则称${\delta }_{\epsilon }\left(\mathbf{t}\right)$的弱极限为$\delta -函数$，简记为：${\lim }_{\epsilon \to 0}{\delta }_{\epsilon }\left(\mathbf{t}\right)=\delta \left(\mathbf{t}\right)$，如下图所示

性质：

1. 积分性质：按(1.5)式给出的定义，取$f(t)=1$,有
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(t\right)\mathrm{d}t=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }_{\epsilon }\left(\mathbf{t}\right)\mathrm{d}t=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_0^{\epsilon }\frac{1}{\mathbf{\epsilon }}\mathrm{d}t=1\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

2. 筛选性质：若$f(t)$是无穷次可微的函数，则有：
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(\begin{array}{c}t\end{array}\right)f(\begin{array}{c}t\end{array})\mathrm{d}t=f(\begin{array}{c}0\end{array}).\text{\hspace{1em}(1.8)}$$
   证明：

   

   更一般地还成立：
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(\begin{array}{c}t-t_0\end{array}\right)f(\begin{array}{c}t\end{array})\mathrm{d}t=f(\begin{array}{c}{t}_0\end{array}).\text{\hspace{1em}(1.9)}$$
   二维$\delta -函数$的定义方式与性质与此类似。

3. 其他性质

   $1^{\circ }\delta$-函数是偶函数, 即 $\delta (t)=\delta (-t)$.
   证明（可以使用筛选性质）：
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(\begin{array}{c}-t\end{array}\right)f(\begin{array}{c}t\end{array})\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(\begin{array}{c}u\end{array}\right)f(\begin{array}{c}-u\end{array})\mathrm{d}u(令u=-t)=f(-u){|}_{u=0}=f(0)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(\begin{array}{c}t\end{array}\right)f(\begin{array}{c}t\end{array})\mathrm{d}t$$所以$\delta (t)=\delta (-t)$
   $2^{\circ }\delta$-函数是单位阶跃函数的导数, 即
   $${\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )\mathrm{d}\tau =u(t),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u(t)=\delta (t)\text{\hspace{1em}(1.10)}$$
   其中 $u(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0,\\ 1,& t>0\end{array}$ 称为单位阶跃函数.
   证明：
   $$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(t\right)\mathrm{d}t=1 \\ \therefore {\int }_{-\infty }^t\delta \left(t\right)\mathrm{d}t=1,t>0 \\ 且{\int }_{-\infty }^t\delta \left(t\right)\mathrm{d}t=0,t<0 \end{gathered}$$这也就是$u(t)$的形式。
   $3^{\circ }$ 若 $a$ 为非零实常数, 则 $\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$.
   利用筛选性质来证明
   $4^{\circ }$ 若 $f(t)$ 为无穷次可微的函数, 则有（利用分部积分证明）
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{\prime }(t)f(t)\mathrm{d}t=-f^{\prime }(0).\text{\hspace{1em}(1.11)}$$
   一般地, 有
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{(n)}(t)f(t)\mathrm{d}t=(-1{)}^n{f}^{(n)}(0)\text{\hspace{1em}(1.12)}$$
   更一般地,有
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{(n)}\left(t-t_0\right)f(t)\mathrm{d}t=(-1{)}^n{f}^{(n)}\left(t_0\right)\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

根据（1.9）很容易求得$\delta -函数$的Fourier变换
$$F\left(\begin{array}{c}\omega \end{array}\right)=\mathcal{F}\left[\delta \left(\begin{array}{c}t\end{array}\right)\right]={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(\begin{array}{c}t\end{array}\right){\mathrm{e}}^{-j\omega t}\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{-j\omega t}{|}_{t=0}=1$$
可见，单位脉冲函数$\delta (t)$和常数1构成了一个Fourier变换对

例题引申：

证明单位阶跃函数 $u(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0,\\ 1,& t>0\end{array}$ 的 Fourier 变换为 $\frac{1}{\mathrm{j}\omega }+\pi \delta (\omega )$.
证 事实上,若 $F(\omega )=\frac{1}{\mathrm{j}\omega }+\pi \delta (\omega )$, 则按 Fourier 逆变换可得
$$\begin{array}{rl}f(t)& ={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[\frac{1}{\mathrm{j}\omega }+\pi \delta (\omega )\right]{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\pi \delta (\omega ){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega +\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}}{\mathrm{j}\omega }\mathrm{d}\omega \\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (\omega ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega +\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\sin \omega t}{\omega }\mathrm{d}\omega \\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \omega t}{\omega }\mathrm{d}\omega .\end{array}$$
为了说明 $f(t)=u(t)$, 就必须计算积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \omega t}{\omega }\mathrm{d}\omega$. 我们已经知道 Dirichlet 积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \omega }{\omega }d\omega =\frac{\pi }{2}$, 因此,有
$${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \omega t}{\omega }\mathrm{d}\omega ={\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \omega t}{\omega t}\mathrm{d}\omega t=\{\begin{array}{ll}-\frac{\pi }{2},& t<0,\\ 0,& t=0,\\ \frac{\pi }{2},& t>0,\end{array}$$
将此结果代入 $f(t)$ 的表达式中，当 $t\ne 0$ 时可得
$$f(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \omega t}{\omega }\mathrm{d}\omega =\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\left(-\frac{\pi }{2}\right)=0,& t<0,\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\cdot \frac{\pi }{2}=1,& t>0.\end{array}$$
这就表明 $\frac{1}{\mathrm{j}\omega }+\pi \delta (\omega )$ 的 Fourier 逆变换为 $f(t)=u(t)$. 因此, $u(t)$ 和 $\frac{1}{\mathrm{j}\omega }+\pi \delta (\omega )$ 构成了一个 Fourier变换对,所以,单位阶跃函数 $u(t)$ 的积分表达式在 $t\ne 0$ 时, 可写为
$$u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \omega t}{\omega }\mathrm{d}\omega .$$
同样，若 $F(\omega )=2\pi \delta (\omega )$, 则由 Fourier 逆变换可得
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega ){\mathrm{e}}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }2\pi \delta (\omega ){\mathrm{e}}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (\omega ){\mathrm{e}}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega =1$$
所以,1 和 $2\pi \delta (\omega )$ 也构成了一个 Fourier 变换对. 同理, $e^{j{\omega }_{n^t}}$ 和 $2\pi \delta \left(\omega -{\omega }_0\right)$ 也构成了一个Fourier 变换对. 由此可得
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-j\omega t}\mathrm{d}t=2\pi \delta (\omega ),{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-j(\omega -{\omega }_0)t}\mathrm{d}t=2\pi \delta \left(\omega -{\omega }_0\right).$$
虽然 , 这两个积分在普遍意义下都是不存在的, 这里积分的意义仍是按(1.5) 式来定义的

3.3 非周期函数的频谱

频谱图指的是频率和振幅之间的关系图，即反映不同频率下的振幅是多少，如下图所示：

1. 以T为周期的非正弦函数$f_T(t)$的频谱

   傅里叶级数表示的是原函数被分成了不同频率的谐波，它的第n次谐波为:
   $$a_n\cos {\omega }_{n}t+b_n\sin {\omega }_{n}t=A_n\sin ({\omega }_{n}t+{\phi }_n)$$
   振幅为：
   $$A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$$
   而
   $$|c_n|=|c_{-n}|=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}$$
   所以
   $$A_n=2|c_n|(n=0,1,2,\cdots )$$

2. 非周期函数

   与前一种类型相区别，在上一节讲的积分公式中，非周期函数是把Fourier积分公式中的连加号转变成求和号，这里也类似，振幅的表示发生了变化。

   $F(w)$被称为$f(t)$的频谱函数，而频谱函数的模$|F(w)|$称为$f(t)$的振幅频谱，由于这里$w$是连续变化的，所以频谱为连续的，与上一种类型中的离散频谱不同，如下图所示。