视频19
三 初等函数的连续性
基本初等函数：有限运算， 能够用一个式子表达
基本初等函数在其定义区间内是连续的
1. 连续函数的和、乘积、商的连续性
（1） 有限个在某个点连续的函数的代数和任然是在该点连续的函数
（2）有限个某个点连续的函数他们的乘积仍然是在改点连续的函数
（3）两个在某点连续的函数他们的商仍然是在该点连续的函数，只要分母在该点处的函数值不等于0
证明（3）
设 f(x),g(x) 在x0 点处连续
则有lim(x->x0) f(x) = f(x0),lim(x->x0)=g(x0) <>0
证明 三角函数的连续性
例 y=sinx , y=cosx 在(-∞，+∞)内是连续的
y=tanx,y=cotx 在其定义域内是连续的
证明正切余切函数
y = tanx = sinx/cosx
y = cotx = cosx/sinx
利用连续函数商的连续， 可知tanx，cotx在定义域内连续的。
习题 1，2，3，5，6，7
2 反函数与复合函数的连续性
如果函数 y = f(x) 在 区间 Ix 区间上是连续的 ， （单调增或单调减少），则其反函数x=φ（y）一定存在
，也在对应的区间 Iy = {y|y=f(x),x属于Ix} 上单调增加（减少）且连续
例如： y=sinx 在Ix [-π/2,π/2] , 上是单调增且连续，因此其反函数y=arcsinx在[-1,1]上单调增， 且连续。
y=cosx在Ix[0,π]上是单调减， 因此其反函数在[-1,+1]这个区间是单调减且连续
y=tanx 在 （-π/2,π/2） 内单调增且连续，其反函数在y=arctanx在（-∞，+∞）去区间内单调增且连续
y=cotx 在 （0，π） 内单调减且连续，则其反函数y=arccotx 在 （-∞，+∞） 内单调减且连续
（2） 设 当 x->x0 时， u=φ(x)极限存在， 且lim(x->x0) φ(x) = a, 而 y = f(u) 在 对应点 u= a 点处连续，
则当x->x0时， 复核函数f[φ(x)] 的 极限存在，且 lim(x->x0)f[φ(x)] = f(a)
证明：
例如： 求 lim(x->0) ln(1+x)/x
三 初等函数的连续性
基本初等函数：有限运算， 能够用一个式子表达
基本初等函数在其定义区间内是连续的
1. 连续函数的和、乘积、商的连续性
（1） 有限个在某个点连续的函数的代数和任然是在该点连续的函数
（2）有限个某个点连续的函数他们的乘积仍然是在改点连续的函数
（3）两个在某点连续的函数他们的商仍然是在该点连续的函数，只要分母在该点处的函数值不等于0
证明（3）
设 f(x),g(x) 在x0 点处连续
则有lim(x->x0) f(x) = f(x0),lim(x->x0)=g(x0) <>0
证明 三角函数的连续性
例 y=sinx , y=cosx 在(-∞，+∞)内是连续的
y=tanx,y=cotx 在其定义域内是连续的
证明正切余切函数
y = tanx = sinx/cosx
y = cotx = cosx/sinx
利用连续函数商的连续， 可知tanx，cotx在定义域内连续的。
习题 1，2，3，5，6，7
2 反函数与复合函数的连续性
如果函数 y = f(x) 在 区间 Ix 区间上是连续的 ， （单调增或单调减少），则其反函数x=φ（y）一定存在
，也在对应的区间 Iy = {y|y=f(x),x属于Ix} 上单调增加（减少）且连续
例如： y=sinx 在Ix [-π/2,π/2] , 上是单调增且连续，因此其反函数y=arcsinx在[-1,1]上单调增， 且连续。
y=cosx在Ix[0,π]上是单调减， 因此其反函数在[-1,+1]这个区间是单调减且连续
y=tanx 在 （-π/2,π/2） 内单调增且连续，其反函数在y=arctanx在（-∞，+∞）去区间内单调增且连续
y=cotx 在 （0，π） 内单调减且连续，则其反函数y=arccotx 在 （-∞，+∞） 内单调减且连续
（2） 设 当 x->x0 时， u=φ(x)极限存在， 且lim(x->x0) φ(x) = a, 而 y = f(u) 在 对应点 u= a 点处连续，
则当x->x0时， 复核函数f[φ(x)] 的 极限存在，且 lim(x->x0)f[φ(x)] = f(a)
证明：
例如： 求 lim(x->0) ln(1+x)/x