复合函数极限证明

$\because$ $\lim_{u\rightarrow u0}f(u)=f(u0)$
$\therefore$任意 $\epsilon>0,存在\delta>0,U(u0，\delta),有|f(u)-f(uo)|<\epsilon$（定义）
又 $\because$ $\lim_{x\rightarrow xo}g(x)=uo，对于上述\delta（由给一个\epsilon有一个\delta,有\delta为任意的),存在\delta1>0,0<|x-x_0|<\delta1时，|g(x)-u_0|<\delta$
$\therefore$对任意 $\delta>0，存在\delta1>0，0<|x-x_0|<\delta1时，有|g(x)-u_0|<\delta，即|u-u(u_0)|<\delta, \therefore|f(u)-f(u_0)|<\epsilon$
又 $\because$ $u=g(x),代入有|f(g(x))-f(u0)|<\epsilon$
即 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=f(u_0)$
又由题有 $u_0=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)$
$\therefore$ $\lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=f(\lim_{ x\rightarrow x_0}g(x))$