【整除】

1.定义

若 $\exists$ q $\in$ Z , s.t. b=a*q ，则称 b 被 a 整除，记作 a|b，其中，b 是 a 的倍数，a 是b 的约数。

2.性质

1）若 a|b 且 b|c，则：a|c

2）若 a|b 且 a|c，对于 $\forall$ x,y $\in$ Z，有：a|(b*x+c*y)

3）若 a|b 且 $\exists$ m $\neq$ 0，则：(m*a)|(m*b)

4）若 a|n 且 b|n，当 $\exists$ x,y $\in$ Z，满足：a*x+b*y=1 时，有：(a*b)|n

3.能被整除的整数的特征

1）0 与 1 的特性：对于任何整数a，总有：1|a；若 a≠0，则：a|0

2）能被 2 整除的数：整数的个位能被 2 整除

3）能被 4 整除的数：整数末尾的两位数能被 4 整除

4）能被 8 整除的数：整数末尾的三位数能被 8 整除

5）能被 3 整除的数：整数各位数字之和能被 3 整除

6）能被 6 整除的数：整数能被 2、3 同时整除

7）能被 9 整除的数：整数各位数字之和能被 9 整除

8）能被 5 整除的数：整数的末位是 0 或 5

9）能被 7 整除的数：截去整数的个位，再减去个位数的 2 倍，若差是 7 的倍数，则原数能被7整除。

注：若所得新数差太大或扔不易看出是否为 7 的倍数，需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能判断为止

10）能被 11 整除的数：整数的奇位和与偶位和的差能被 11 整除

【同余】

1.定义

若 $\exists$ a,b $\in$ Z，且 m|(a-b)，则称 a 与 b 关于模 m 同余，记为：a $\equiv$ b(mod m)

同余意味着 a-b=m*k,k $\in$ Z，例如：32 $\equiv$ 2（mod 5），此时 k=6

2.性质

1）基础性质

① 传递性：若 a $\equiv$ b(mod m)，b $\equiv$ c(mod m)，则：a $\equiv$ c(mod m)

② 对称性：若 a $\equiv$ b(mod m)，则：b $\equiv$ a(mod m)

③ 自反性： a $\equiv$ a(mod m)

2）运算性质

① 同加性：若 a $\equiv$ b(mod m)，则：a+c $\equiv$ b+c(mod m)

② 同幂性：若 a $\equiv$ b(mod m)，则： $a^{^{n}}$ $\equiv$ $b^{^{n}}$ (mod m)

③ 同乘性：

若 a $\equiv$ b(mod m)，则：a*c $\equiv$ b*c(mod m)

若 a $\equiv$ b(mod m)，c $\equiv$ d(mod m)，则：a*c $\equiv$ b*d(mod m)

3）推论

① 若 a mod p=x，a mod q=x，且 p、q 互质，则 a mod p*q =x

② a*b mod k=(a mod k) *(b mod k) mod k

3.例题：指数取余

问题：输入 m，n，k 三个整数，求 $m^{n} * k$ 的值

分析：以求 $3^{89} mod\; 7$ 为例

$3^{1}\equiv 3(mod\: \, 7)$

$3^{2}\equiv 3^{2}(mod\: \, 7)\equiv 2(mod\: \, 7)$

$3^{4}\equiv (3^{2})^{2}(mod\: \, 7)\equiv 4^{2}(mod\: \, 7)\equiv 2$

$3^{8}\equiv (3^{8})^{2}(mod\: \, 7)\equiv 2^{2}(mod\: \, 7)\equiv 4$

$3^{32}\equiv (3^{16})^{2}(mod\: \, 7)\equiv 4^{2}(mod\: \, 7)\equiv 2$

$3^{64}\equiv (3^{32})^{2}(mod\: \, 7)\equiv 2^{2}(mod\: \, 7)\equiv 4$

$3^{89}\equiv 3^{64}*3^{16}*3^{8}*3^{1}(mod\: \, 7)\equiv 4*4*2*3(mod\: \, 7)\equiv 96(mod\: \, 7)\equiv 5(mod\: \, 7)$

因此，可递归的对 n 进行二进制分解，即快速幂运算，同时进行求模。

递归公式：

$x^y=\left\{\begin{matrix}1,y=0 \\ x*x^{y-1},y=2*n+1 \\ (x^2)^{y/2},y=2*n \end{matrix}\right.$

快速幂：https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/80920908

源程序：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int m,n,k;
    int ans=1;
    cin>>m>>n>>k;
    while(n)
    {
        if(n&1)//若n为奇数
        {
            ans=ans*m;
            ans%=k;
        }
        n>>=1;//n除2
        m*=m;
        m%=k;
    }
    cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

整除与同余

【整除】

1.定义

2.性质

3.能被整除的整数的特征

【同余】

1.定义

2.性质

3.例题：指数取余

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