定义
若整数 \(a\) 与整数 \(b\) 除以正整数 \(m\) 的余数相同，则称 \(a,b\) 模 \(m\) 同余，记作 \(a\equiv b\pmod{m}\)。
同余类与剩余系
同余类（剩余类）： 对于 \(\forall a \in [0,m-1]\)，集合 \(\{ a+km\}(k \in \mathbb{Z})\) 中的所有数模 \(m\) 同余，余数都为 \(a\)，该集合称为模 \(m\) 的一个同余类，简记为 \(\overline a\)。
完全剩余系： 模 \(m\) 的同余类共有 \(m\) 个，分别为 \(\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\cdots ,\overline{m-1}\)，从这 \(m\) 个集合中分别取出 1 个数，构成一个大小为 \(m\) 的集合，这个集合称为模 \(m\) 的一个完全剩余系。
简化剩余系： 模 \(m\) 的完全剩余系中与 \(m\) 互质的数构成的一个子集。
若一个模 \(m\) 的同余类 \(\overline{i}\) 中的所有数都与 \(m\) 互质（事实上只要该同余类中的一个数与 \(m\) 互质，则该同余类中的所有数都会与 \(m\) 互质，证明），则称 \(\overline{i}\) 为 与模 \(m\) 互质的剩余类 。在所有 与模 \(m\) 互质的剩余类 中分别取出一个数，构成一个大小为 \(\phi{(m)}\) 的集合，这个集合称为模 \(m\) 的一个简化剩余系。
例如，模 10 的一个简化剩余系为 \(\{1,3,7,9\}\)，另一个简化剩余系为 \(\{1,13,27,39\}\)。
简化剩余系关于模 \(m\) 乘法封闭。
证明：
从一个模 \(m\) 的简化剩余系中取出两个数 \(x,y\)，
由于 \(gcd(x,m)=1,\ gcd(y,m)=1\)，所以 \(gcd(x*y,m)=1\)，
所以 \(gcd(x*y\ mod\ m,m)=1\)，
故 \(x*y\) 模 \(m\) 的余数也属于 \(m\) 的简化剩余系。
欧拉定理
若正整数 \(a,n\) 互质，则
\[a^{\phi(n)} \equiv 1\pmod{n}\]
证明：
设 \(\{r_1,r_2,r_3,\cdots ,r_{\phi(n)}\}\) 为模 \(n\) 的一个简化剩余系，求证 \(\{ar_1,ar_2,ar_3,\cdots ,ar_{\phi(n)}\}\) 为模 \(n\) 的一个简化剩余系。
反证法：
若 \(\forall r_i,r_j\ (i\neq j),\ ar_i \equiv ar_j \pmod{n}\)，
由于 \(a,n\) 互质，所以 \(r_i\equiv r_j \pmod{n}\)，与条件矛盾，
所以 \(ar_i,ar_j\) 属于模 \(m\) 的不同剩余系，
因为 \(a,n\) 互质, 所以 \(a\) 属于 \(n\) 的一个简化剩余系,
又因为简化剩余系关于模 \(n\) 乘法封闭, 所以 \(ar_i\) 属于 \(n\) 的一个简化剩余系.
所以 \(\{ar_1,ar_2,ar_3,\cdots ,ar_{\phi(n)}\}\) 为模 \(n\) 的一个简化剩余系。
所以
\[a^{\phi(n)}r_1r_2r_3\cdots r_{\phi(n)}\equiv (ar_1)(ar_2)(ar_3)\cdots (ar_{\phi(n)})\equiv r_1r_2r_3\cdots r_{\phi(n)}\pmod{n}\]
由于 \(r_1r_2r_3\cdots r_{\phi(n)}\) 与 \(n\) 互质，
故
\[a^{\phi(n)}\equiv 1\pmod{n}\]
得证。
扩展欧拉定理
若 \(a,p\) 为正整数，则
\[ a^b\equiv \left\{ \begin{aligned} a^{b\mod \phi(p)}, && gcd(a,p)=1 \\ a^b, && b<\phi(p) \\ a^{b\mod \phi(p) +\phi(p)}, && b \ge \phi(p) \end{aligned} \right. \]
证明：（第一种情况）
设 \(b=k\phi(p)+r\) ，则 \(r=b\mod \phi(p)\)。
所以 \(a^b \equiv a^{k\phi(p)+r} \equiv (a^{\phi(p)})^k*a^r \equiv 1^k*a^r \equiv a^r \equiv a^{b\mod\phi(p)} \pmod{p}\)，得证
费马小定理
若 \(p\) 是质数，若正整数 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数（\(a,p\) 互质），则
\[a^{p-1} \equiv 1\pmod{p}\]
证明：
由欧拉定理可得：\(a^{\phi(p)} \equiv 1 \pmod{p}\)；
因为 \(p\) 为质数，所以 \(\phi(p)=p-1\)；
所以 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)，得证。
扩展欧几里得算法
用途
求解二元一次方程 \(ax+by=c\), \((a,b \in \mathbb{Z})\)
前置知识
贝祖定理 : 对于任意 \(a,b \in \mathbb{Z}\), 存在 \(x,y \in \mathbb{Z}\), 使得 \(ax+by=gcd(a,b)\).
证明 (数学归纳法) :
首先, 考虑欧几里得算法的最后一步
乘法逆元
定义
对于整数 \(a\)，若 \(ax\equiv 1 \pmod{m}\)，则称 \(x\) 为 \(a\) 模 \(m\) 的乘法逆元，记作 \(a^{-1}\pmod{m}\)
存在条件
对于整数 \(a\)，当且仅当 \(a,m\) 互质时，存在 \(a\) 模 \(m\) 的乘法逆元。
证明：
设 \(x\) 为 \(a\) 模 \(m\) 的逆元，则 \(ax\equiv 1 \pmod{m}\)，
该式子可转化为不定方程 \(ax+my=1\)，
根据贝祖定理可知，当 \(gcd(a,m)|1\) 时，该方程有解，
所以 \(gcd(a,m)=1\)，得证。
求逆元
在上文证明逆元的存在条件时提到，同余方程 \(ax\equiv 1 \pmod{m}\) 可转化为不定方程 \(ax+my=1\)，我们就可以用扩展欧几里得算法求解 \(a\) 模 \(m\) 的逆元。
特殊的，当 \(m\) 为质数时，\(a^{-1}\equiv a^{m-2} \pmod{m}\)。
证明：
设 \(ax\equiv 1 \pmod{m}\)，
根据费马小定理
若 \(p\) 是质数，若整数 \(a\) 与 \(p\) 互质，则 \(a^{p-1} \equiv 1\pmod{p}\)
可得，\(ax\equiv a^{m-1} \pmod{m}\)，
由于 \(a,m\) 互质，所以，\(x\equiv a^{m-2} \pmod{m}\)，得证。