【数论】同余问题

定义

两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即 a≡b（mod m）

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定律

1. a≡a(mod d)
2. a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
3. (a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)

如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则

1. a+b≡x+m （mod d）
2. a-b≡x-m (mod d)
3. a*b≡x*m (mod d）

值得一提的是：不满足a/n≡b/n(mod d) 求解用逆元

费马小定理：

如果b和p互质 则b^p≡b（mod p）

可用于：由此可得b^p-1≡1（mod p） 结合求逆元方程b*x≡1（mod p） 得到b^p-1≡b*x（mod p)

              所以x≡b^p-2（mod p）结合快速幂求出x

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扩展欧几里德

已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    int t;
    if(b==0)//当b=0时 gcd(a,b)=a
            //因为1*a+0*0=a 所以ax+by=gcd(a,b)有一组解为
            //x=1 y=0 
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0; 
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,x,y);
        t=x;//推导得公式 
        x=y;
        y=t-(a/b)*y;
    }
}

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应用：

求解ax+by=c 

设g=gcd(a,b) a1=a/g   b1=b/g   c1=c/g

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用exgcd求a1*x1+b1*y1=1的整数解

那么a1*g*c1*x1+b1*g*c1*y1=c1*g 即a*c1*x1+b*c1*y1=c

所以x0=c1*x1   y0=c1*y1是一组解

可推得通解为x=x0+b1*t   y=y0-a1*t   t属于Z

PS：当gcd(a,b)不整除c的时候不满足上述过程