【ACM入门】整除、同余的概念及快速幂

整除、同余的概念及快速幂

整除、余数都是小学概念，但还是得学习一些细节。

整除

1、 $a|b$ 代表b可以被a整除，b是a的倍数，a是b的约数。

2、约定0可以被任何数整除。

3、若存在整数 $x$ , $y$ 使得 $a*x+b*y = 1$，且 $a|n$、 $b|n$，那么 $(a*b)|n$

其他性质比较显然，就不作赘述。

同余

基本概念

​ 若 $a, b$ 两个自然数满足 $m|(a-b)$,则说a和b关于m同余，记为 $a \equiv b(mod\ m)$

同余具有以下性质

​ 1、自反性： $a \equiv a(mod\ m)$

​ 2、对称性：若 $a \equiv b(mod\ m)$，则 $b \equiv a(mod\ m)$

​ 3、传递性：若 $a \equiv b(mod\ m)$，且 $b \equiv c(mod\ m)$，则 $a \equiv c(mod\ m)$

​ 4、同加性：若 $a \equiv b(mod\ m)$，则 $a+c \equiv b+c(mod\ m)$

​ 5、同乘性：①若 $a \equiv b(mod\ m)$，则 $a*c \equiv b*c(mod\ m)$

​ ②若 $a \equiv b(mod\ m)$且 $c \equiv d(mod\ m)$，则 $a*c \equiv b*d(mod\ m)$

​ 6、同幂性：若 $a \equiv b(mod\ m)$，则 $a^n \equiv b^n(mod\ m)$

​ 7、推论1： $a*b\ mod\ k=(a\ mod\ k)*(b\ mod\ k)mod\ k$，指数取余重要原理。

​ 8、推论2：若 $a\ mod\ p=x$， $a\ mod\ q=x$，p、q互质，则 $a\ mod\ (p*q)=x$。

​ 但是，同余不满足同除性，即不满足 $a\ div\ n\ \equiv\ b\ div\ n(mod\ m)$

​ 由此我们可以有指数取余模板，这里我们直接引用快速幂模板题。

输入整数 $m，n，k$，求 $m^n\ mod\ k$的值。 $m, n, k * k$为长整型范围内的自然数。

快速幂的原理是，首先将 $n$分解成2的幂次方，例如 $3^{89}$，可以拆分成 $3^{64}*3^{16}*3^{8}*3^1$，然后循环每次将tmp*=2，判断该位是否存在，累乘即可。这个过程结合代码更易懂，下面直接奉上模板：

#include <iostream>

using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
    ll n, m, k;
    ll ans = 1;
    cin >> n >> m >> k;
    while (n) {
        if (n & 1) {
            ans *= ans * m % k;
        }
        n >>= 1;
        m = m * m % k;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

快速幂的时间复杂度为 $O(logn)$，只要n在long long类型范围内(一般考虑为1e18)，都是可行的。