同余定理

  同余定理：两个整数同时除以一个整数得到的余数相同，则二整数同余。记作a ≡ b(mod m)。

1. 同余定理的加法乘法应用

• (a + b) % m = (a % m + b % m) % m

设 a = k1 * m + r1，b = k2 * m + r2
则 (a + b) % m = ((k1 * m + r1) + (k2 * m + r2)) % m
               = ((k1 + k2) * m + (r1 + r2)) % m
               = (r1 + r2) % m
               = (a % m + b % m) % m
所以 (a + b) % m = (a % m + b % m) % m

• (a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m

设 a = k1 * m + r1，b = k2 * m + r2
则 (a * b) % m = ((k1 * m + r1) * (k2 * m + r2)) % m
               = (k1 * k2 * m^2 + (k1 * r2 + k2 * r1) * m + r1 * r2) % m
               = (r1 * r2) % m
               = ((a % m) * (b % m)) % m
所以 (a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m

2. 高精度取模

• 高精度对单精度取模

    一个高精度数对一个数取余，可以把高精度数看成各位数的权值与个位数乘积的和。

    比如1234 = ((1 * 10 + 2) * 10 + 3) * 10 + 4，对这个数进行取余运算就是上面基本加和乘的应用。

1. #include<iostream>

2. #include<string>

3. using namespace std;

4.  

5. int main(){

6. string a;

7. int b;

8. cin >> a >> b;

9. int len = a.length();

10. int ans = 0;

11. for(int i = 0; i < len; i++){

12. ans = (ans * 10 + a[i] - '0') % b;

13. }

14. cout << ans << endl;

15. return 0;

16. }

• 快速幂取模

    将幂拆解为多个底数的平方次的积，如果指数为偶数，把指数除以2，并让底数的平方次取余，如果指数为奇数，就把多出来的底数记录下来，再执行偶数次的操作。

1. #include<iostream>

2. using namespace std;

3.  

4. int PowerMod(int a, int b, int c){

5. int ans = 1;

6. a = a % c;

7. while(b > 0){

8. if(b&1){

9. ans *= (a % c);

10. }

11. b >>= 1;

12. a = (a * a) % c;

13. }

14. ans %= c;

15. return ans;

16. }

17.  

18. int main(){

19. int a, b, c;

20. cin >> a >> b >> c;

21. cout << PowerMod(a, b, c) << endl;

22. return 0;

23. }