2 同余
2.1 模运算与同余
定义2-1（模运算）：对于整数\(a,m>0\)，有\(a\div m=q\cdots r\)，将余数\(r\)定义为\(a\)模\(m\)，记为\(a\;(mod\;m)\)。
定义2-2（同余）：对于整数\(a,b,m>0\)，如果\(m|(a-b)\)，则称\(a\)与\(b\)模m同余，记为\(a\equiv b\;(mod\;m)\)
同余的基本性质：设\(a\equiv b\;(mod\;m)\)，\(c\equiv d\;(mod\;m)\)，则
- \(a+c\equiv b+d\;(mod\;m)\)
- \(ac\equiv bd\;(mod\;m)\)
- 对于任意整数\(x,y\)，均有\(xa+yc\equiv xb+yd\;(mod\;m)\)
- 若\(k|m\Rightarrow a\equiv b\;(mod\;k)\)，因为\(k|m|(a-b)\)，即整除具有传递性。
- 若\(k\)是正整数，则有\(ak\equiv bk\;(mod\;mk)\)
- 若\((c,m)=1\)且\(ac\equiv bc\;(mod\;m)\)，则有\(a\equiv b\;(mod\;m)\)
- 若\(a\equiv b\;(mod\;m_1)\)，\(a\equiv b\;(mod\;m_2)\)且\((m_1,m_2)=1\)，那么\(a\equiv b\;(mod\;m_1m_2)\)
- \(n\)是正整数，那么\(a^n\equiv b^n\;(mod\;m)\)，性质2的特殊情况
- 若存在整系数多项式\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)，那么\(f(a)\equiv f(b)\;(mod\;m)\)。性质1，2的推广。
证明上述性质的几种思路：
- 利用定义2-2进行证明，即通过整除的观点来证明。
- 将同余式化成等式的情况，例如，\(a-b=km+r_1,c-d=tm+r_2\)。这时候就可以通过整数间互素，整除的关系来处理。
同余实际上是一种等价关系（体现在性质1，2中），实际运算过程中利用这种等价关系，有时候可以有效降低计算量。例如，\(10^2\times2\equiv1^2\times2\equiv2\;(mod\;3)\)，其中\(10\equiv1\;(mod\;3)\)。也就是说在模3的意义下，10和1是等价的。
定义2-3（同余模逆元）：如果整数\(b(0<b<m)\)满足\(a\times b\equiv1\;(mod\;m)\)，那么就称b为a在模m意义下的逆元。
定理2-1：对于整数\(a,m(m>0)\)，a模m的逆元存在当且仅当\((a,m)=1\)。若逆元存在，那么逆元必然是唯一的。
利用在辗转相除法中定理1-3的推论进行证明
充分性证明：存在整数\(s,t\)，使得\(as+mt=1\)。显然此时就有\(as\equiv1\;(mod\;m)\)，因此此时s就是a模m的逆元。
必要性证明：因为存在整数s，使得\(as\equiv1\;(mod\;m)\)，即存在整数k，使得\(as+mk=1\)。因此有\((a,m)=1\)。
唯一性证明：假设整数\(a\)存在两个逆元\(0\le s,s'\le m-1\)，那么\(as\equiv as'\equiv1(mod\;m)\)，于是有\(m|a(s-s')\)。又因为\((a,m)=1\)，所以\(m|(s-s')\)。又因为\(0\le s,s'\le m-1\)，所以\(0\le|s-s'|\lt m\)，故\(s-s'=0\)，即逆元唯一。
例题：已知17和26的最大公因子为1，所以17模26的逆元存在，又因为
\[ 17\times(-3)+26\times2=1 \]
所以，\(-3\equiv23\;(mod\;26)\)，即17模26下的逆元为23。
2.2 剩余系
2.2.1 完全剩余系
设\(a,b,c,n(n>0)\)是整数，同余是一种等价关系，同余具有以下性质：
- 反身性：\(a\equiv a\;(mod\;m)\)
- 对称性：如果\(a\equiv b\;(mod\;m)\)，那么\(b\equiv a\;(mod\;m)\)
- 传递性：如果\(a\equiv b\;(mod\;m)\)，\(b\equiv c\;(mod\;m)\)，那么\(a\equiv c\;(mod\;m)\)
定义2-4：给定\(m>0\)，对于每个满足条件\(0\le r\le m-1\)的整数r，我们将集合\([i]=\{n|n\equiv i\;(mod\;m)\}\)称为模
m的一个剩余类\([i]\)，即由余数相同的整数构成m的一个剩余类。
由上述定义可知，我们可以将整数集划分成m个剩余类（集合），即\([0],[1],\cdots,[m-1]\)。这些剩余类具有以下性质：
- \([i]\cap[j]=\emptyset,\;0\le i,j\le m-1\)
- \([0]\cup[1]\cup\cdots[m-1]=Z\)
定义2-5：给定\(m>0\)，从模m的每一个剩余类中各取一个数\(x_i\)，则称集合\(\{x_0,x_1,\cdots,x_{m-1}\}\)是模\(m\)的一个完全剩余系。
例如：
- 最小非负完全剩余系：\(\{0,1,\cdots,m-1\}\)
- 最小正完全剩余系：\(\{1,2,\cdots,m\}\)
定理2-2：整数集合A是模m的完全剩余系的充要条件是A中含有m个整数，并且A中的任意两个整数对模m不同余。
证明：根据定义很容易就可以证明定理2-2。
定理2-3：设\(m\ge0,(a,m)=1\)，若\(\{x_1,x_2,\cdots,x_{m}\}\)是模m的一个完全剩余系，那么\(\{ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_{m}+b\}\)也是模m的完全剩余系。
证明：根据定理2-2，只需要证明\(\{ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_{m}+b\}\)中的元素两两不同余即可，假设集合中存在两个元素模m同余，即存在\(1\le i,j\le m\)，使得
\[ \begin{aligned} &ax_i+b\equiv ax_j+b\;\mod m\\ \Rightarrow\;&m|a(x_i-x_j)\\ \Rightarrow\;&m|(x_i-x_j)\\ \Rightarrow\;&x_i\equiv x_j\mod m \end{aligned} \]
与假设矛盾，因此集合中的元素两两不同余，所以定理2-3得证。
完全剩余系关于模m余数的分布在整数意义上是连续的，即余数为\(0,1,2,\cdots,m-1\)均包含在集合中，其中b的作用只是对完全剩余系进行了一次等间距平移，可以保持这种连续性。
2.2.2 简化剩余系
定义2-6：设\([i]\)是模m的一个剩余类，对于任意\(a\in[i]\)，都有\((a,m)=1\)，则称\([i]\)是模m的一个简化剩余类。
在模m的一个剩余类中，如果有一个数与m互素，那么该剩余类的每一个数都和m互素，这是因为
\[ 1=as+mt=(a+km)s+m(t-ks) \]
对于任意的整数k都是成立的。
因此模m简化剩余系的个数就等于\(1,2,\cdots,m-1,m\)中与m互素的数的个数，我们将这个数记为\(\varphi(m)\)，并称函数\(\varphi(\cdot)\)为欧拉函数。显然，对于素数p而言，\(\varphi(p)=p-1\)。
例如，模4的两个简化剩余类：\([1],[3]\)
定义2-7：对于正整数m，从模m的每个简化剩余类中选取一个数\(x_i\)，构成的集合\(\{x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(m)}\}\)称为模m的简化剩余系。
例如，模4的两个简化剩余系：\(\{1,3\},\{3,9\}\)
定理2-4：整数集合A是模m的简化剩余系的充要条件为：
- 集合A中有\(\varphi(m)\)个整数
- A中任意两个整数不同余
- A中的每个整数都和m互素
证明：通过简化剩余系的定义即可证明
定理2-5：若\((a,m)=1\)，\(\{x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(m)}\}\)是模m的简化剩余系，那么集合\(\{ax_1,ax_2,\cdots,ax_{\varphi(m)}\}\)也是模m的简化剩余系。
证明：假设集合\(\{ax_1,ax_2,\cdots,ax_{\varphi(m)}\}\)中存在两个数同余，不妨设\(ax_i\equiv ax_j\mod m\)。因为a,m互素，所以\(x_i\equiv x_j\mod m\)。这显然与\(\{x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(m)}\}\)是模m的简化剩余系相矛盾，所以定理2-5得证。
简化剩余系关于模m的在整数意义上是不连续的，例如模12的一个简化剩余系：\(\{1，5，7，11\}\)。因此当偏移项b不等于0时，往往不能保证得到的集合是简化剩余系。但是可能存在某些特殊的b值，使得偏移后的集合仍然是简化剩余系。例如：
- \(b=km\)
- 对于模8的简化剩余系而言，\(b=2\)也是成立的
2.3 欧拉定理与欧拉数计数
2.3.1 欧拉定理
定理2-6（欧拉定理）：设m是正整数且\((a,m)=1\)，则\(a^{\varphi(m)}\equiv1(mod\;m)\)。
证明：根据定理2-5，我们有如果\(\{x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(m)}\}\)是模m的简化剩余系，那么集合\(\{ax_1,ax_2,\cdots,ax_{\varphi(m)}\}\)也是模m的简化剩余系，因此
\[ \begin{aligned} &ax_1ax_2\cdots ax_{\varphi(m)}\equiv x_1x_2\cdots x_{\varphi(m)}\mod m\\ \Rightarrow\;&a^{\varphi(m)}x_1x_2\cdots x_{\varphi(m)}\equiv x_1x_2\cdots x_{\varphi(m)}\mod m \end{aligned} \]
又因为\((x_1,m)=(x_2,m)=\cdots=(x_{\varphi(m)},m)=1\)，所以\((x_1x_2\cdots x_{\varphi(m)},m)=1\)，因此\(a^{\varphi(m)}\equiv1(mod\;m)\)
例题：今天是星期三，那么\(313^{159}\)天后是星期几？
因为每一个星期的周期是7，所以通过模7来计算：
\[ 313^{159}\equiv(7k+5)^{159}\equiv5^{159}\mod 7\\\;5^{\varphi(7)}\equiv5^6\equiv1\mod 7 \]
因此\(5^{159}\equiv(5^6)^{26}\times5^3\equiv5^3\equiv6\mod 7\)，所以\(313^{159}\)天后是星期二。
定理2-7（Fermat小定理）：若p为素数，则对所有的整数a，有\(a^p\equiv a(mod\;p)\)。
证明：费马小定理实际上就是欧拉定理的一种特殊形式
- 当\((a,p)=1\)时，由欧拉定理可知：\(a^{\varphi(p)}\equiv a^{p-1}\equiv1(mod\;p)\)，因此\(a^p\equiv a(mod\;p)\)
- 当\((a,p)=p\)时，\(a^p\equiv a \equiv0(mod\;p)\)，定理成立。
因此，当进行指数运算且模素数的时候，可以利用费马小定理进行化简。
快速模幂运算（平方-乘算法）：
为了计算大整数的方幂\(a^k(mod\;m)\)，将k表示成二进制的形式：\(k=\alpha_0+\alpha_1\cdot2+\cdots+\alpha_r\cdot2^r,\;\alpha_i\in\{0,1\}\)，因此
\[ \begin{aligned} a^k&=a^{\alpha_0}\cdot a^{\alpha_1\cdot2}\cdot a^{\alpha_2\cdot2^2}\cdots a^{\alpha_r\cdot2^r}\\ \end{aligned} \]
因为\(a^{2^{i+1}}\equiv (a^{2^i})^2(mod\;m)\)，因此计算首先计算连续平方：
\[ \begin{aligned} &t_0\equiv a\mod m\\ &t_1\equiv a^2\mod m\\ &t_2\equiv t_1^2\equiv a^{2^2}\mod m\\ &\cdots\\ &t_r\equiv t_{r-1}^2\equiv a^{2^r}\mod m \end{aligned} \]
在计算连续乘：\(a^k\equiv t_{i_1}\times t_{i_2}\times\cdots\times t_{i_s}\mod m\)，其中\(0\le i_1<i_2<\cdots<i_s\le r\)，并且\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_s}\)是所有\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)中等于1的项。
2.3.2 欧拉数计数公式
定理2-8：设\(m_1,m_2\in N^*\)，\((m_1,m_2)=1\)，模\(m_1\)的完全剩余系为\(X=\{x_1,x_2,\cdots,x_{m_1}\}\)，模\(m_2\)的完全剩余系为\(Y=\{y_1,y_2,\cdots,y_{m_2}\}\)，那么\(A=\{m_1y+m_2x|x\in X,y\in Y\}\)是模\(m_1m_2\)的完全剩余系。
证明：首先证明集合A内的元素两两不同余，假设存在两个数同余，那么
\[ \begin{aligned} &m_1y_1+m_2x_1\equiv m_1y_2+m_2x_2\mod m_1m_2\\ \Rightarrow\;&m_2x_1\equiv m_2x_2\mod m_1\\ \Rightarrow\;&x_1\equiv x_2\mod m_1 \end{aligned} \]
这与完全剩余系的定义相矛盾，因此集合内的元素两两不同余。因为\(m_1y+m_2x\)一共有\(m_1m_2\)种不同的组合，因此可知集合A就是一个完全剩余系。
定理2-9：设\(m_1,m_2\in N^*\)，\((m_1,m_2)=1\)，模\(m_1\)的简化剩余系为\(X=\{x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(m_1)}\}\)，模\(m_2\)的简化剩余系为\(Y=\{y_1,y_2,\cdots,y_{\varphi(m_2)}\}\)，那么\(A=\{m_1y+m_2x|x\in X,y\in Y\}\)是模\(m_1m_2\)的简化剩余系。
证明：假设模\(m_1\)的一个完全剩余系为\(X'\)，模\(m_2\)的一个完全剩余系为\(Y'\)，对于\(x\in X',y\in Y'\)，如果\((m_1y+m_2x,m_1m_2)=1\)，那么存在整数\(s,t\)，使得
\[ \begin{aligned} &(m_1y+m_2x)s+m_1m_2t=1\\ \Rightarrow\;& \left\{\begin{aligned} m_1(ys+m_2t)+x(m_2s)=1\\ m_2(xs+m_1t)+y(m_1s)=1 \end{aligned}\right.\\ \Rightarrow\;& \left\{\begin{aligned} (m_1,x)=1\\ (m_2,y)=1 \end{aligned}\right.\\ \end{aligned} \]
即\(x\)与\(m_1\)互素，所以x必然来自模\(m_1\)的简化剩余系；同理y来自模\(m_2\)的简化剩余系。将模\(m_1\)的简化剩余系记为\(X\)，模\(m_2\)的简化剩余系记为\(Y\)，并构造集合\(A=\{m_1y+m_2x|x\in X,y\in Y\}\)，显然此时集合\(A\)中一共有\(\varphi(m_1)\varphi(m_2)\)个元素。
接着证明集合A中的元素两两不同余：利用定理2-8中的证明思路即可
最后证明集合A中的任意一个元素和\(m_1m_2\)都互素：
假设集合A中存在一个数\(m_1y+m_2x\)与\(m_1m_2\)不互素，那么它们必然存在一个公共素因子\(d>1\)。因为\((m_1,m_2)=1\)，所以素因子d只能来自\(m_1\)或者\(m_2\)，这里不妨假设来自\(m_1\)（如果来自\(m_2\)也是一样的）。因为\(d|(m_1y+m_2x)\)且\(d|m_1\)，所以\(d|m_2x\)，于是有\(d|x\)。又因为\((x,m_1)=1\)，所以我们的假设不成立，因此公因子d必须为1。
综上可知，定理2-9成立。
定理2-10：设\(m,n\in N^*\)，\((m,n)=1\)，那么\(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)
证明：模m的简化剩余系中有\(\varphi(m)\)个整数，模n的简化剩余系中有\(\varphi(n)\)个整数，模\(mn\)的简化剩余系中有\(\varphi(mn)\)个整数，有定理2-9中的证明可知\(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)成立。
利用定理2-10，我们可以计算任意正整数的欧拉函数：
首先，对于一个素数\(p>0\)而言，有\(\varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}\)成立。因为若\(x\in\{1,2,3,\cdots,p^n\}\)且\((x,p^n)>1\)，说明x必然含有素因子p，因此x具有形式\(x=kp,k=1,2,3,\cdots,p^{n-1}\)。所以\(\{1,2,3,\cdots,p^n\}\)中一共有\(p^{n-1}\)个数与\(p^n\)不互素。
对于任意正整数\(n>1\)，通过算数基本定理将其分解为：\(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}\)。因此
\[ \begin{aligned} \varphi(n)&=\varphi(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k})\\ &=\varphi(p_1^{\alpha_1})\varphi(p_2^{\alpha_2})\cdots\varphi(p_k^{\alpha_k})\\ &=(p_1^{\alpha_1}-p_1^{\alpha_1-1})(p_2^{\alpha_2}-p_2^{\alpha_2-1})\cdots(p_k^{\alpha_k}-p_k^{\alpha_k-1})\\ &=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}\prod_i(1-\frac{1}{p_i})\\ &=n\prod_i(1-\frac{1}{p_i}) \end{aligned} \]