同余性质

0x01 同余性质的引入

让我们先来看除法。

给定两个整数a, b，若存在另一个整数q，使得 a = b×q，我们就说 a 能被 b 整除（divisible），并称 q 为 a 被 b 除的商（quotient），记作

a ÷ b = q

除法运算在整数范围内是“不完善的”、“残缺”的（为了使它完善，就诞生了分数或者说有理数），因为并不是每个整数都能被另一个整数整除，在除不尽的情况下就会有一个余数，例如 27 被 5 除的余数是 2。

注意 余数是一个小于除数的正整数（我们假定除数是正整数），而且它是唯一确定的，设 a 被 n 除的商（quotient）为 q， 余数（remainder）为 r, 用数学等式表示，我们有

a = qn + r ( 0 ≤ r < n )

如果两个数 a, b 被 n 除的余数相同，我们就说这两个数关于模（modulus）n“同余”（congruent），用下面的记号表示：

a ≡ b ( mod n )

例如，27 和 12 被 5 除的余数都是 2，所以它们对模 5 同余，即

27 ≡ 12 ( mod 5 )

显然， 如果 a, b 对模 n 同余，那么它们的差 a – b 能被 n 整除，反之亦然。

特别地，“a 能被 n 整除” 等价于

a ≡ 0 (mod n) 

0x02 同余记号的由来

同余“≡”这个记号最早是高斯引入的，在他的不朽名著《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae ）的开篇第一段他就开宗明义地引入了这个记号，一方面显示和一般的等号“=”的区别，同时又达到表达的绝对清晰和简洁。

在数学中，引入一个表面看上去很简单的概念（notion）或者记号（notation）常常会有意想不到的巨大威力，同余记号就是一个好例。

同余记号“≡”的引入大大方便了处理关于整除和余数的问题，因为在很多方面，同余关系“≡”几乎和普通的等号“=”完全一样，正如两个相等的量可以互相替换一样，两个同余的数也可以互相替换（当然我们总是用小的那个数替换大的）。

0x03 同余的基本性质及其证明

基本性质

若 a ≡ b, c ≡ d ( mod n )，则

(1) a + c ≡ b + d ( mod n )

(2) ac ≡ bd ( mod n )

(3) a x ≡ b x ( mod n ) 

证明

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应用举例

例1： 

求 2011 × 2012 除 6 的余数

∵ 2011 ≡ 1, 2012 ≡ 2 ( mod 6 ) // 注意 2010 能被 6 整除 [5]

∴ 2011 × 2012 ≡ 1 × 2 ≡ 2 ( mod 6 )

即2011 × 2012 除 6 的余数是 2（你可以笨算出来验证）。

例2： 

求 20112012 除 6 的余数

∵ 2011 ≡ 1 ( mod 6 ) ∴ 2011 2012 ≡ 12012 ≡ 1 ( mod 6 )

即 20112012 除 6 的余数是 1（这次你怕是不能笨算出来验证了）。

以上整理自独立学者谢国芳的公益性网站—— “语数之光” 的《从整数的世界到余数的世界（1）》