【概念】

1.不定方程：未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是整数）的方程。

2.同余方程

设函数 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ ，则称： $f(x)\equiv0(mod\:m)$ 是关于模 m 的同余方程

3.线性：方程的未知数次数是一次

4.线性同余方程

线性同余方程是最基本的同余方程，形如 $ax \equiv b (mod\: m)$ 的未知数是 x 的同余式，其中，a、b 是整数，且 $a\neq 0 (mod\: m)$

【与线性同余方程有关的定理】

1.定理1：对于二元一次方程 $a*x+b*y=c$ ，其等价为 $a*x\equiv c(mod \:\,b)$ ，该方程有整数解的充分条件是 $c \: \, mod \: \, GCD(a,b)=0$ ，若方程有整数解，则共有 $GCD(a, b)$ 个解。

2.定理2：若 $x_0$ 、 $y_0$ 为 $a*x+b*y=c$ 的一组解，则该方程的任一解可表示为： $\left\{\begin{matrix}x=x_0+b*t/GCD(a,b) \\ y=y_0-a*t/GCD(a,b) \end{matrix}\right.,t\in Z$

注意，上面两个通解公式只能选择其中一个，另一个再根据原方程推出。

3.定理3：若 $GCD(a, b) =1$ ，则方程 $a*x \equiv c (mod \:\,b)$ 在 $[0, b - 1]$ 上有唯一解。

【线性同余方程的解的求法】

1.使用扩展欧几里德算法求方程的一组解

根据定理1，对于方程 $a*x+b*y=c$ ，用扩展欧几里德算法求出一组 $x_0$ 、 $y_0$ ，即令 $a*x_0+b*y_0=GCD(a,b)$ ，然后两边同除 $GCD(a,b)$ ，再乘以 c ，即得方程 $a*x_0*c/GCD(a,b)+b*y_0*c/GCD(a,b)=c$ ，因此可知方程的一组解 $\left\{\begin{matrix}x=x_0*c/GCD(a,b) \\ y=y_0*c/GCD(a,b) \end{matrix}\right.$

2.实际应用

实际中，常常被要求去求最小的正整数的解，先通过扩展欧几里德算法求出方程的一组 $x_0$ 、 $y_0$ ，再设 $t=b/GCD(a,b)$ ，通过定理2来拓展方程的解，来调整x的范围，将 $a*x_0+b*y_0=c$ 拓展为 $a*(x_0+t*k)+b*(y_0-t*k)=c,k \in Z$ ，从而使得所得到的 x 尽可能的小，通过式子 $x=(x\:\, mod\:\, t+t)\:\,mod\:\,t$ 来约束结果一定是一个正数，最后所得到的 x 即是一个最小的正整数解。

例题：青蛙的约会（洛谷-P1516）

【模版】

#include<iostream>
using namespace std;
int Extended_GCD(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
 
    int temp;
    int gcd=Extended_GCD(b,a%b,x,y);
    temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return gcd;
}
int main()
{
    //形如 ax+by=c
    int a,b,c,x,y;
    cin>>a>>b>>c;
 
    int gcd=Extended_GCD(a,b,x,y);
    if(c%gcd!=0)
        cout<<"无整数解"<<endl;
    else
        cout<<"该方程的一组整数解为：x="<<x*c/gcd<<",y="<<y*c/gcd<<endl;
 
	return 0;
}