高等数学——曲线积分与曲面积分

概述

上一章将积分范围推广到了平面或空间内的一个闭区域上，本章将把积分范围推广到一段曲线弧或一片曲面上（这样推广后的积分称为曲线积分和曲面积分）

本章包含对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分、格林公式及其应用、对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分、高斯公式和通量与散度、斯托克斯公式和环流量与旋度

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1、对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分的概念与性质

• 定义：$\int_{L}f(x,y)ds$，对弧长的曲线积分（第一类曲线积分），$f(x,y)$叫做被积函数，$L$叫做积分弧段

当$f(x,y)$在光滑曲线弧上连续时，对弧长的曲线积分是存在的。以后总假设曲线是光滑的或分段光滑的

对弧长的曲线积分对平面曲线和空间曲线都成立

如果$L$是闭曲线，那么函数$f(x,y)$在闭曲线$L$上对弧长的曲线积分记为$\oint_Lf(x,y)ds$

对弧长的曲线积分的性质与重积分的性质很类似

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对弧长的曲线积分的计算法

公式如下（空间曲线也很类似）：

$$\int_Lf(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt,(\alpha<\beta)$$

这里定积分的下限$\alpha$ 一定要小于上限$\beta$

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2、对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分的概念与性质

变力沿曲线所作的功

• 定义（方向性）：$\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_L\vec F(x,y)\cdot d\vec r$，叫做对坐标的曲线积分（第二类曲线积分），$P(x,y)和Q(x,y)$叫做被积函数，$L$叫做积分弧段

当$P(x,y)和Q(x,y)$在有向光滑曲线弧（分段光滑也可以）$L$上连续时，上述积分存在

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曲线可以是平面中的也可以是空间中的

如果曲线分段光滑，积分等于分段的积分之和

向量值函数连续性的定义（与一般函数很类似）

对坐标的曲线积分，必须注意积分弧段的方向

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对坐标的曲线积分的计算法

公式如下（空间曲线类似）：

$$\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_\alpha^\beta\{P[\varphi(t),\psi(t)]\varphi'(t)+Q[\varphi(t),\psi(t)]\psi'(t)\}dt$$

下限$\alpha$对应于$L$的起点，上限$\beta$对应于$L$的终点，$\alpha不一定小于\beta$（积分限要单调变化，积分曲线要是单值函数）

注意括号的使用规律

虽然两个对坐标的曲线积分的被积函数相同，起点和终点也相同，但沿不同路径得出的积分值并不相同（有时也是可以相等的）

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两类曲线积分之间的联系

有向曲线弧的切向量：切向量的指向与参数的增长方向一致，所以当$\alpha<\beta时$，切向量的指向就是有向曲线弧$L$的方向

$f(x,y)=P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta$

平面曲线弧（空间曲线弧的关系公式也很类似）$L$上的两类曲线积分之间的关系如下（也可以用向量的形式表示）：

$$\int_LPdx+Qdy=\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta)ds$$ 其中 $\alpha和\beta$是 有向曲线弧在该点处的切向量的方向角

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3、格林公式及其应用

格林公式（只在平面内适用）

格林公式的目的：在平面闭区域$D$上的二重积分可以通过沿闭区域$D$的边界曲线$L$上的曲线积分来表达

设$D$为平面区域，若$D$内任一闭曲线所围的部分都属于$D$，则称$D$为平面单连通区域，否则称为复连通区域

平面单连通区域就是不包含“洞”（包括“点洞”）的区域，复连通区域是含有“洞”（也包括“点洞”）的区域

对平面区域$D$的边界曲线$L$，我们规定$L$的正向如下：当观察者沿$L$的这个方向行走时，$D$内在它近处的那一部分总在它的左边

• 定理1（格林公式）：$\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_LPdx+Qdy$，其中$L是D$的取正向的边界曲线

一般的，格林公式对于由分段光滑曲线围成的闭区域都成立（不仅仅是针对某一种特定类型的闭区域）

对于复连通区域$D$，格林公式右端应包括沿闭区域$D$的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域$D$来说都是正向的（两个边界的积分是如何组织的？？？？？）

格林公式的一个简单应用（求闭区域$D$的面积）：$A=\frac{1}{2}\oint_Lxdy-ydx$，例题3为什么可以直接代入？？？？？？

使用格林公式的目的：为了使用最简单的方法来计算积分

注意p208中的例4

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平面上曲线积分与路径无关的条件

对坐标的曲线积分与积分路径无关的定义：p209

曲线积分$\int_LPdx+Qdy$在$G$内与路径无关相当于沿$G$内任意闭曲线$C$的曲线积分$\oint_CPdx+Qdy$等于零

• 定理2：曲线积分与积分路径（积分路径也要在$G内$）无关的充分必要条件是$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}在G内恒成立$

奇点：

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二元函数的全微分求积

• 定理3：$Pdx+Qdy在G内$为某一函数$u(x,y)$的全微分的充分必要条件是$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}在G内恒成立$

求函数$u(x,y)$的公式如下：

$$u(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$ 因为该公式中的曲线积分与路径无关，为了计算简便起见，可以选择平行于坐标轴的直线段连成的折线作为积分路径（当然这些折线要完全位于 $G内$），这里的 $(x_0, y_0)$是在区域 $G$内 适当选定的点的坐标（指导原则是什么？？？？？）

一阶全微分方程：p214，解全微分方程有两种方法，第一种较为简单

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曲线积分的基本定理

若曲线积分$\int_L\vec F\cdot d\vec r$在区域G内与积分路径无关，则称向量场$\vec F$为保守场

• 定理4（曲线积分的基本定理）：若存在一个数量函数$f(x,y)$，使得$\vec F=\nabla f$，则曲线积分在$G$内与路径无关，且$\int_L\vec F\cdot d\vec r=f(B)-f(A)$

该定理给出了平面曲线积分与积分路径无关的另一种形式的条件，并为计算保守场中的曲线积分提供了一种简便的方法

势场是保守场

曲线积分的基本公式和微积分基本公式很类似

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4、对面积的曲面积分

对面积的曲面积分的概念与性质

曲面工件的质量问题

当$f(x,y,z)$在光滑曲面（或分片光滑的曲面）$\sum$上连续时，对面积的曲面积分是存在的

对面积的曲面积分具有与对弧长的曲线积分相类似的性质

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对面积的曲面积分的计算法

将对面积的曲面积分化为二重积分的公式如下：

$$\iint\limits_{\sum}f(x,y,z)dS=\iint\limits_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)}dxdy$$ 自己寻找记忆技巧

如果曲面的方程由其他类型的方程给出，需要将对面积的曲面积分化为相应形式的二重积分

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5、对坐标的曲面积分

流向曲面一侧的流量

曲面是双侧的，在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧。我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧

取定了法向量亦即选定了侧的曲面，就称为有向曲面

根据曲面的法向量与对应坐标轴的夹角的余弦值的正负，我们规定曲面在相应平面上投影的正负性（也可为零）

• 定义：对坐标的曲面积分（也称为第二类曲面积分）

$$\iint\limits_{\sum}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy$$

当$P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)$在有向光滑（或有向分段光滑）曲面$\sum$上连续时，对坐标的曲面积分是存在的

对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的性质

关于对坐标的曲面积分，我们必须注意积分曲面所取的侧

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对坐标的曲面积分的计算法

注意该计算法使用的前提条件

把对坐标的曲面积分化为二重积分来计算

积分曲面的表达式的形式（根据积分后缀来判断的）决定了积分曲面该如何投影

假设积分曲面是由方程$z=z(x,y)$给出的（其他形式类似），则

$$\iint\limits_{\sum}R(x,y,z)dxdy=\pm\iint\limits_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]dxdy$$

$$\cos\gamma>0,上侧；\cos\gamma<0,下侧,D_{xy}\\\cos\alpha>0,前侧；\cos\alpha<0,后侧,D_{yz}\\\cos\beta>0,右侧；\cos\beta<0,左侧,D_{zx}$$

这里的例题1和2要彻底理解

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两类曲面积分之间的联系

$$\iint\limits_{\sum}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint\limits_{\sum}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS$$ 其中 $\cos\alpha、\cos\beta、\cos\gamma$是该 有向曲面的法向量的方向余弦

两类曲面积分之间的联系也可以写成向量的形式

看懂例3

各种情况下的有向曲面的法向量的方向余弦该如何求？？？？？？

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6、高斯公式 通量与散度

高斯公式

格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系

• 定理1：必须是空间闭区域，而且曲面指定的是外侧

高斯公式：由于mark down不支持闭曲面的积分，所以无法展示出来

拉普拉斯算子和格林第一公式

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沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件

这个问题与曲线积分的路径相关性类似

相当于，在怎样的条件下，曲面积分$\iint\limits_{\sum}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$与曲面$\sum$无关而只取决于$\sum$的边界曲线（一种用更简单的方式解决问题的思想）

对空间区域$G$，如果$G$内任一闭曲面所围成的区域全属于$G$，则称$G$是空间二维单连通区域；如果$G$内任一闭曲线总可以张成一片完全属于$G$的曲面，则称$G$为空间一维单连通区域

• 定理2：充分必要条件是$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$在$G$内恒成立

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通量与散度

高斯公式的物理意义，需要用到再看

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7、斯托克斯公式 环流量与旋度

斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面$\sum$上的曲面积分与沿着$\sum$的边界曲线的空间曲线积分联系起来

• 定理1：空间曲线$\Gamma$和曲面$\sum$之间符合右手规则

斯托克斯公式：

$$\iint\limits_{\sum}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz$$

可以利用行列式进行记忆

上述公式右端，可以变化为对面积的曲面积分的形式（只有格林公式不具有两种形式）

会做例题就可以了

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空间曲线积分与路径无关的条件

利用格林公式推得了平面曲线积分与路径无关的条件。利用斯托克斯公式，可以推得空间曲线积分与路径无关的条件

空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线的曲线积分为零

• 定理2：充分必要条件是$\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$
• 定理3（三元函数的全微分求积）：p245

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环流量与旋度

与通量和散度对比理解和记忆，还需要注意其实际的物理意义