不定积分概念
前面讨论的都是求一个函数F(X)的导数问题，即F’(X) =f(x),现在已知f(x)，想求出它的原函数F(X),这个问题就称为不定积分问题。
①什么样的f（x）能保证它的原函数存在？如果f(x)是连续函数，它一定有原函数，注意可导必连续，连续不一定可导。
②如果f（x）有一个原函数，那么它就有无限多个原函数。
比如(sinx)’= cosx ,sinx就是cosx的一个原函数。因为（F(X)+C）’ = f(x) ，（sinx+3）‘=cosx，（sinx-20）’=cosx。
于是任意一个原函数都可以用F(X)+C来表示。
不定积分定义
在区间I上，连续函数f(x)带有任意常数项的原函数，称为f(x)的不定积分：
F(X)+C = ∫f(x)dx
∫称为积分号，f(x) 称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量
例1 求∫x^2dx
解： 因为 (x^3/3)’ =x ^2,所以x ^3/3是x ^2一个原函数，因此
∫x^2dx=x ^3/3+C
可见，积分符号∫与微分符号d是互逆运算，当两个符号在一起的时候，可以抵消或者抵消后差一个常数。
d[∫f(x)dx]/dx = f(x) 或 d[∫f(x)dx] = f(x)*dx
∫dF(X)=F(X)+C
先抵消，加不加常数，要看最后一步是积分运算（加常数），还是微分运算（不加常数）。
matlab求函数的不定积分函数是int（），其具体使用格式为int（y，var）,y是被积表达式（无需加dx），var是积分变量可省略。
例5 求解 ∫dx/x^3
int(1/(x^3))
答案只给出了一个原函数。
例6 求解∫x^2*x （1 ^2）dx
y=(x^2)*sqrt(x)
int(y)
积分的计算要比导数的计算灵活，复杂，往往把常用的积分公式汇集成表，叫做积分表。
定积分概念
对于曲边梯形图形，想求其面积，我们可以把图形[a,b]区间分成n个小区间，这样就把整个曲边梯形分成n个窄曲边梯形，用窄矩形来近似替代每个窄曲边梯形，那么n个窄矩形的面积之和，就能近似替代总曲边梯形的面积。
对匀速直线运动，路程=速度*时间，但速度不是常量而是随时间变化的变量，路程s不能直接按匀速公式来计算，但是在很短的一段时间内，速度的变化很小，我们可以用匀速来替代。把整个时间轴划分成n等分，每一个细微时间等分中，以匀速代替变速，就可以算出那一段时间的路程近似值，那么n个等分的路程之和，就能近似替代变速运动总路程。
定积分定义
根据以上思想，设函数f(x)在[a,b]上有界，把[a,b]区间分成n个小区间，各个小区间的长度依次为：Δxn=xn-x（n-1）
在每个小区间上任取一点εi，做f(εi)*Δxi ，并作出和 s = ∑ f(εi)*Δxi i=1到n ，记λ=max{Δx1，Δx2，……，Δxn}，如果当λ→0时，和的极限存在，且与闭区间[a,b]及点εi取法无关，那么称这个极限为函数f(x)在[a,b]上的定积分，记为
a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫积分区间
定积分存在，则它是一个具体的数值，是个常数（如曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式。
matlab求解定积分函数int(y,x,a,b)
例子1 求解∫ x^2dx a=0,b=1
y=(x^2)
int(y,x,0,1)
定积分的一些性质：
当a=b相等时，
很好理解，没有面积。
7、∫dx=b-a
8、如果在区间上f(x)<=g(x),那么∫f(x)dx <= ∫g(x)dx
9、设M和m分别是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，那么m(b-a)<=∫f(x)dx<=M(b-a)
10、积分中值定理： 在[a,b]上至少存在一点ε，使∫f(x)dx = f(ε)(b-a)，几何解释是在区间[a,b]上至少存在一点ε，使得以[a,b]为底，y=f(x)为边的曲边梯形面积等于以[a,b]为底，高度为f(ε)的一个矩形的面积。f(ε)可以叫做区间上的平均值，平均高度，平均速度。
牛顿-莱布尼茨公式
如果函数F(X)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么 ∫f(x)dx =F(b) - F(a) ,又称微积分基本定理，它表明一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它任意一个原函数在区间[a,b]上的增量。
所以我们只需要求出不定积分（原函数），再代入a，b即可求出定积分。