图解曲面积分的对称性

1.图解曲面积分的对称性

1.1 第一类曲面积分的一般对称性

二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的一般对称性其原理都类似
平面和空间曲面的原理一样，以下内容以空间曲面为例
图中所示为积分区域$\Sigma$，函数$f(x,y,z)$表示点$(x,y,z)$处的密度大小，可以用颜色深浅表示，但画图过于繁琐，所以被积函数并没有进行可视化

积分区域空间曲面$\Sigma$关于$x$的偶函数（即关于$yoz$平面对称）

积分区域空间曲面$\Sigma$关于$y$的偶函数（即关于$xoz$平面对称）

积分区域空间曲面$\Sigma$关于$z$的偶函数（即关于$xoy$平面对称）

1.2 第一类曲面积分的轮换对称性

轮换对称性意味着积分区域$\Sigma$的表达式在$x、y、z$互换后形式仍不变，即积分与积分变量无关
例：
设曲面$\Sigma$：$|x|+|y|+|z|=1$，求$\underset{\Sigma }{\iint }(x+|y|)dS$
曲面$\Sigma$关于$xoz$平面对称，即关于$x$为偶函数，被积函数$x+|y|$关于$x$为奇函数，故$\underset{\Sigma }{\iint }xdS=0$
$$\underset{\Sigma }{\iint }(x+|y|)dS=\underset{\Sigma }{\iint }|y|dS$$
变量$x、y$互换后表达式为：$|y|+|x|+|z|=1$，表达式不变
变量$y、z$互换后表达式为：$|x|+|z|+|y|=1$，表达式不变
变量$x、z$互换后表达式为：$|z|+|y|+|x|=1$，表达式不变
通过验证，积分区域的表达式具有轮换对称性，则将被积函数中$y$替换为$x$和$z$后积分大小不变
$$\begin{gathered} \underset{\Sigma }{\iint }|y|dS=\underset{\Sigma }{\iint }|x|dS=\underset{\Sigma }{\iint }|z|dS \\ \underset{\Sigma }{\iint }|y|dS=\frac{1}{3}(\underset{\Sigma }{\iint }|y|dS+\underset{\Sigma }{\iint }|x|dS+\underset{\Sigma }{\iint }|z|dS) \\ \underset{\Sigma }{\iint }|y|dS=\frac{1}{3}(\underset{\Sigma }{\iint }|y|+|x|+|z|dS) \\ \underset{\Sigma }{\iint }|y|dS=\frac{1}{3}\underset{\Sigma }{\iint }dS=\frac{1}{3}\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2}{)}^2=\frac{4\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$
下图为曲面$\Sigma$（由8个边长$\sqrt{2}$的正三角形组成），$\underset{\Sigma }{\iint }dS$表示该曲面面积

1.3 第二类曲面积分的一般对称性

积分区域空间曲面$\Sigma$关于$x$的偶函数（即关于$yoz$平面对称）
为突出向量分解后的各个方向，避免与曲面产生混乱，下图中并未画出曲面$\Sigma$

积分区域空间曲面$\Sigma$关于$y$的偶函数（即关于$xoz$平面对称）
为突出向量分解后的各个方向，避免与曲面产生混乱，下图中并未画出曲面$\Sigma$
原理与上述类似，不再进行作图

积分区域空间曲面$\Sigma$关于$z$的偶函数（即关于$xoy$平面对称）
为突出向量分解后的各个方向，避免与曲面产生混乱，下图中并未画出曲面$\Sigma$
原理与上述类似，不再进行作图