图解第一类曲面积分与第二类曲面积分的关系

图解第一类曲面积分与第二类曲面积分的关系

笔记相关内容：
1.曲面积分(Surface Integral)
2.第一类曲面积分：曲面微元dσ与其投影面积微元dxdy之间的关系推导

第一类曲面积分（对曲面微元dS进行积分）(无方向性)
物理意义：$F(x,y,z)$为面密度，dS为曲面微元，在曲面$\Sigma$上积分得到曲面质量
$$\underset{\Sigma }{\iint }F(x,y,z)dS$$

第二类曲面积分（对坐标dydz、dzdx、dxdy进行积分，注意顺序！要满足右手定则）(有方向性)
平面向量场中的通量度量了单位时间内流体通过曲线的量
空间向量场中的通量度量了单位时间内流体通过单位面积的量，通量由流体通过的表面积来度量
向量场$\mathbf{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k}$
$\Sigma$是向量场中的一片有向曲面、${\mathbf{n}}^0$是$\Sigma$上点$(x,y,z)$处的单位法向量
下图引自：遇见数学

下图引自：遇见数学

物理意义：向量场$\mathbf{F}(x,y,z)$通过曲面$\Sigma$指定侧的通量
$$\underset{\Sigma }{\iint }\vec{F}d\vec{S}=\underset{\Sigma }{\iint }\vec{F}\cdot {\vec{n}}^{0}dS=\underset{\Sigma }{\iint }P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy$$
曲面$\Sigma$的参数化表达式（详见文章开头第二篇相关内容）
$$\mathbf{r}(u,v)=f(u,v)\mathbf{i}+g(u,v)\mathbf{j}+h(u,v)\mathbf{k}$$

点$P$处的沿$u$轴和$v$轴的切向量分别是：
$${\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}=\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\mathbf{i}+\frac{\partial g(u,v)}{\partial u}\mathbf{j}+\frac{\partial h(u,v)}{\partial u}\mathbf{k}$$
$${\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}=\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}=\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\mathbf{i}+\frac{\partial g(u,v)}{\partial v}\mathbf{j}+\frac{\partial h(u,v)}{\partial v}\mathbf{k}$$
点$P$处的沿$u$轴和$v$轴的两个切向量叉乘后得到曲面法向量，然后对其单位化
$${\vec{n}}^0=\frac{{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}}{|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|}$$
曲面微元dS
$$dS=|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|dudv$$
$$\underset{\Sigma }{\iint }\vec{F}d\vec{S}=\underset{\Sigma }{\iint }\vec{F}\cdot {\vec{n}}^{0}dS=\underset{\Sigma }{\iint }\vec{F}\cdot \frac{{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}}{|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|}\cdot |{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|dudv=\underset{\Sigma }{\iint }\vec{F}\cdot ({\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}})dudv$$

---

第一类曲面积分与第二类曲面积分的关系推导
若我们取$x=u、y=v、z=f(x,y)$，其中$z=f(x,y)$是$xoy$平面中区域$R$上的曲面表达式
参数化后曲面的表示式
$$\mathbf{r}(u,v)=u\mathbf{i}+v\mathbf{j}+f(u,v)\mathbf{k}$$
点P处的沿$u$轴和$v$轴的切向量分别是：
$${\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}=\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}=\mathbf{i}+f_u^{\prime }(u,v)\mathbf{k}$$
$${\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}=\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}=\mathbf{j}+f_v^{\prime }(u,v)\mathbf{k}$$
$${\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 0& f_u^{\prime }\\ 0& 1& f_v^{\prime }\end{array}\right|=-f_u^{\prime }\mathbf{i}-f_v^{\prime }\mathbf{j}+\mathbf{k}$$
将参数化后的参数替换为原参 $x=u、y=v$
曲面微元dS法向量为：($-f_x^{\prime }，-f_y^{\prime }，1$)
dS向xoy平面投影的投影微元dxdy的法向量：$\vec{k}=(0，0，1)$
dS向xoz平面投影的投影微元dxdz的法向量：$\vec{j}=(0，1，0)$
dS向yoz平面投影的投影微元dydz的法向量：$\vec{i}=(1，0，0)$

曲面微元dS法向量为：($-f_x^{\prime }，-f_y^{\prime }，1$)
dS向xoy平面投影的投影微元dxdy的法向量：$\vec{k}=(0，0，1)$

曲面微元dS法向量为：($-f_x^{\prime }，-f_y^{\prime }，1$)
dS向xoz平面投影的投影微元dxdz的法向量：$\vec{j}=(0，1，0)$

曲面微元dS法向量为：($-f_x^{\prime }，-f_y^{\prime }，1$)
dS向yoz平面投影的投影微元dydz的法向量：$\vec{i}=(1，0，0)$


单位法向量${\vec{n}}^0$与三个坐标轴的夹角

第二类曲面积分与第一类曲面积分的关系
注意：dydz，dzdx，dxdy的顺序，要满足右手定则
$$d\vec{S}={\vec{n}}^{0}dS=(\cos \alpha ，\cos \beta ，\cos \gamma )dS=(dydz，dzdx，dxdy)$$
$$\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Sigma }{\iint }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$$