Part 8 曲面积分

第一型曲面积分

直径

直径趋于零则面积一定趋于零
但面积趋于零，有可能出现长条的情况，不满足密度近似均匀和形体近似平面

定义

分（割极细，以至于密度和形体在面元内部均）匀（，随后求）和（，在这种切分下整体呈现出稳定的极限值）

性质（略）

线性性质，分片光滑的可累加性
（重要）奇偶性

计算

完全可以认为是第一类曲线积分的形式上的直接拓展。

\[\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(x,y,z)\Delta S_i\\=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(x,y,g(x,y))\sqrt{1+g_x^2(x_i,y_i)+g_y^2(x_i,y^i)}\,\mathrm d\sigma\\ =\iint\limits_Df(x,y,g(x,y))\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,\mathrm d\sigma \]

最后一项是一个二重积分。

不难看出线面积分之间的关系。我们只是将一次一元积分转化成(二元的)二重积分

另外可以利用参数方程进行计算。（利用Jacob式可得公式）
作变量代换：

\[\mathrm dS=\frac{\mathrm d\sigma}{|\cos\gamma|}=\frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}{|C|}\mathrm d\sigma=\sqrt{EG-F^2}\,\mathrm du\,\mathrm dv \]

其中\(A,B,C\)是\(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\)的系数，分别为\(\frac{D(y,z)}{D(u,v)},\frac{D(x,z)}{D(u,v)},\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\)
为什么会出现这样的几个Jacob式呢？我们可以拿\(\overrightarrow{i}\)为例，垂直于\(x\)轴的变化是在平行于\(yOz\)的某个面中，我们只有\(y,z\)两个变量，对它们进行变换，利用叉积\(\mathrm dx\,\mathrm dy=|(x_1-x_0)(y_3-y_0)-(x_3-x_0)(y_1-y_0)|\approx|\frac{\partial x}{\partial \xi}\frac{\partial y}{\partial\eta}-\frac{\partial x}{\partial\eta}\frac{\partial y}{\partial\xi}|=|J_3|\,\mathrm d\xi\mathrm d\eta\)，类似可得其他两个Jacob式。

方向余弦是在这个2to3映射空间中定义的，每个维度上都有一定的转化尺度，用Jacob式衡量。方向余弦的大小不仅有几何意义，还可以反映某个转化尺度的大小。

某个几何面上的微元除以方向余弦，就可以表示成这个几何面和S曲面的关系，我们还可以进一步利用这个几何面和映射虚面上微元\(\mathrm du\,\mathrm dv\)的关系，可知这个大根式即可转化为虚面上的。

简要总结：S，xOz，xOy，yOz都是几何面。我们需要利用Jacob式衡量的，都与换元的转换尺度有关。

第二型曲面积分

双侧曲面

返回起始点时法向量指向始终不变

性质

• 有向性（重要）所以慎用奇偶性
• 线性性质
• 分片曲面同向可加性

计算（重要）

转化成仅有常数+几何意义可解的问题是少见但有效的。
通常用坐标法求解。代入转化为二重积分。
一般转化方法：\(\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint\limits_DR[x,y,z(x,y)]\,\mathrm dx\,\mathrm dy\)
公式总结如下

\[\iint\limits_S\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{n}\,\mathrm dS\\ \iint\limits_DP\,\mathrm dy\,\mathrm dz+Q\,\mathrm dz\,\mathrm dx+R\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\ \pm\iint\limits_DP(-f_x)+Q(-f_y)+R\,\mathrm d\sigma...(\,\mathrm dx\,\mathrm dy) \\ \pm\iint\limits_D\overrightarrow{F}(u,v)\frac{r_u\times r_v}{|r_u\times r_v|}\sqrt{EG-F^2}\,\mathrm du\,\mathrm dv \]

其中\(\left|r_u\times r_v\right|=\sqrt{EG-F^2}\)

这里的\(r_u,r_v\)，\(r\)是一个二维\((u,v)\)映射到\((x,y,z)\)的三维曲面的两个偏导数。分别都是一个切向量。他们的叉乘方向与法向量相同。单位化之后即得\(\overrightarrow{n}\)

总结：两型面和重积分的关系

\[\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint\limits_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]\,\mathrm dx\,\mathrm dy \]

从而二型曲面积分可以有如下的转化：

\[\iint\limits_\Sigma\overrightarrow{F}\cdot\mathrm d\overrightarrow{S}=\iint\limits_\Sigma \overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{n}\,\mathrm dS\\=\iint\limits_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm dS\\=\iint\limits_D P\,\mathrm dy\,\mathrm dz+Q\,\mathrm dz\,\mathrm dx+R\,\mathrm dx\,\mathrm dy \]

二型曲面积分可以通过投影的方式转化成三个一型面相加。

经过方向余弦代入，我们的结论也可以写成：

\[\iint\limits_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\\ =\iint\limits_D\left(P(-f_x)+Q(-f_y)+R\,\right)\mathrm dx\,\mathrm dy \]

这个统一区域的形式，看起来会好用很多！

几何意义其实不用考虑过多，在某些程度上说，这是一个由于偏导数连续引起的代数结果。几何意义可可以理解成是法向量的朝向的转换。

这样我们就建立了一二型面之间的关系

Gauss公式和Stokes公式

Gauss公式

建立二型面和三重积分的关系
物理意义：散度（由于法向量朝外从而对应-Q）
<整个曲面的散度之和叫做通量，对比Gauss定理的一般形式和积分形式>

各种“散度”

N-L公式(0D-1D)

\[\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=F(x)\Big|_a^b \]

平面场散度(1D-2D)

\[\oint\limits_{L^+}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{n}\,\mathrm d\ell=\iint\limits_D\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy \]

Gauss公式(2D-3D)(这里不支持二重闭面积分)

\[\iint\limits_{S^+}(P,Q,R)\cdot\overrightarrow{n}\,\mathrm dS=\iiint\limits_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,\mathrm dV \]

其实Green公式和Stokes公式也可以有类似的观点。

Stokes公式

是Green公式的高维形式。

\[\oint\limits_{L^+}P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy+R\,\mathrm dz=\iint\limits_{S^+}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,\mathrm dy\,\mathrm dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right)\,\mathrm dz\,\mathrm dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy \]

轮换，借助三阶行列式记忆。证明见北大P116，D124

外微分与统一

一阶外微分

从普通的微分和全微分——到
外微分-恰当微分

统一公式（重要）

\[\int_{\partial \Omega}\omega=\int_\Omega\,\mathrm d\omega \]

外微分的计算（掌握即可）

\[\mathrm d \omega(\overrightarrow{x_i})=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_j}x_i \]

# 切线法平面、切平面法线
切线是弦线的极限。
$$
\left(\frac{x(t_0+\Delta x)-x(t_0)}{\Delta x},\frac{y(t_0+\Delta y)-y(t_0)}{\Delta y}, \frac{z(t_0+\Delta z)-z(t_0)}{\Delta z}\right)=(x',y',z')\xlongequal{同乘dt}(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz)
$$
切线方程利用点向式表示。  
随后，法平面可以利用点法式写出（切线是这个平面的法线）

对原函数$F(x, y,z)$全微分，可以得到$(F_x,F_y,F_z)\cdot(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz)=0$，第二个向量是任意切向量。从而可以得到平面的法向量为$(F'_x, F'_y, F'_z)$。  
然后利用点法式方程可以写出切平面$F'_x(x-x_0)+F'_y(y-y_0)+F'_z(z-z_0)$

# 常见易错点总结
## 极坐标变换
是Jacob式变换$\frac{|D(x,y)|}{|D(r, \theta)|}$的特殊情况。一般为$r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$

广义极坐标变换注意前缀的abc
## 上下限
### 参数方程
对于过原点的圆，是$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$  
对于双扭线是$(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$  
对于包含原点的封闭图形是$(0, 2\pi)$
### 重积分
要注意几重之间的制约关系

# 求积分的化简可行思路
**分治**；及时将大块的积分式拆解成$I_n$式的表达式，分别进行计算

**封装**：便于合并相消

**奇偶**：$\int_0^{2\pi}\sin^mx\cos^n x$只要$m，n$中有一者是奇数，就可以大大简化计算。

（曲线曲面积分的核心思路）**归一化**：将多种变量划归到同一种上；曲面投影到一个面上

# 几何线度和坐标积分的关系
## 一型线和二型线
一型$\xleftrightharpoons{乘余弦}$二型$\xleftrightharpoons{一般坐标变换}$Jacob参数形式

>通常，一般坐标变换和余弦（[Jacob量度坐标](#Jacob量度立方)中的余弦）同时乘。（这里没有太说明白，看不懂正常）
## 求解法
最终转换成单变量积分的分治求解，这是简单的。

## 例说
$$
\int\limits_L[P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta]\,\mathrm ds\\
=\int\limits_{L^+}P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy\\
=\int_\alpha^\beta [P(\varphi(t), \psi(t))\varphi'(t)+Q(\varphi(t), \psi(t))\psi'(t)]\,\mathrm dt
$$
利用第三个参数变换作中介，我们可以得到对于$z=f(x,y)$的平面二型线和空间二型线的转化关系（并不是形式地代入，或许也可以形式地代入，并不影响理解）：
$$
\int\limits_{L^+}F(x,y,z)\,\mathrm dx=\int\limits_{C^+}F(x,y,f(x,y))\,\mathrm dx
$$

类似地我们可以写出二型面：  
## 一型面和二型面
### 求解方式
$$
\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\pm\iint\limits_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\,\mathrm dx\,\mathrm dy
$$
### 余弦转化
$$
\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)\cos\gamma\,\mathrm dS=\iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z(x,y))\,\mathrm dx\,\mathrm dy
$$
### 坐标变换
$$
\iint\limits_\Sigma Q(x,y,z)\,\mathrm dz\,\mathrm dx(=\frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\,\mathrm dx\,\mathrm dy)=\iint\limits_\Sigma Q(x,y,z)z'_x\,\mathrm dx\,\mathrm dy
$$
### Jacob量度立方
如果是由$u,v$表示的参数方程，其中的代换则更一般地成为Jacob变换。特别注意的是，这里的变换量度取Jacob式的绝对值。

在这个$(\xi,\eta)\mapsto(x,y,z)$的空间中，例如使得原曲面投影在$xOy$平面上的部分反向映射回去，如果记$r=r(x,y)$
$$\begin{aligned}
&\mathrm dx\,\mathrm dy\\
=&|(x_1-x_0)(y_3-y_0)-(x_3-x_0)(y_1-y_0)|\\
\approx&|\frac{\partial x}{\partial \xi}\frac{\partial y}{\partial\eta}-\frac{\partial x}{\partial\eta}\frac{\partial y}{\partial\xi}|\,\mathrm d\xi\mathrm d\eta\\
=&r_u\times r_v\,\mathrm d\xi\mathrm d\eta\\
=&|J_3|\,\mathrm d\xi\mathrm d\eta
\end{aligned}$$

如果我们将其他两个Jacob式也计算出来，$|J_1|,|J_2|,|J_3|$就可以构成一个不均匀量度的坐标系。它表明，一个曲面的小微元沿三个坐标轴方向投影在三个平面的微元面积比约为：$|J_1|,|J_2|,|J_3|$，从而我们在转化过程当中，只要把握住（相对最）一般坐标的形式，即可实现良好的转换。

关于这个余弦，我们从矢径相乘的角度再看看：  
$|J_1|=r'_u(y,z)\times r'_v(y,z),|J_2|=r'_u(z,x)\times r'_v(z,x)$以及已经讨论过的$|J_3|=r'_u(x,y)\times r'_v(x,y)$，那么这个坐标系的标准单位立方可以表示成长宽高分别为$|J_1|,|J_2|,|J_3|$的，斜边为$\sqrt{J_1^2+J_2^2+J_3^2}$的长方体。  

从而余弦转换当中的$\cos$具体值获得了几何意义。