数学分析笔记17：曲线积分与曲面积分

第一型曲线积分与曲面积分

第一型曲线积分

曲线的弧长

在定积分的几何应用一节我们已经介绍了曲线弧长公式，现在，我们对曲线的弧长作一个完整的论述，以引出第一型曲线积分的定义。

定义17.1 对1元 $n$维向量函数 $\phi(t)=(\phi_1(t),\cdots,\phi_n(t)),t\in [a,b]$，如果 $\phi(t)$是连续的，则称 $\gamma:\{\phi(t):t\in[a,b]\}$是 $R^n$上的连续曲线，如果对于 $t_1,t_2\in[a,b],t_1\neq t_2,t_1\neq a或t_2\neq b$，都有 $\phi(t_1)\neq \phi(t_2)$，则称 $\gamma$为若当曲线或简单曲线，如果 $\gamma$是简单曲线同时 $\phi(a)=\phi(b)$，则称 $\gamma$为若当闭曲线，如果 $\phi(t)$在 $[a,b]$上有连续的导数，则称 $\gamma$为光滑的曲线

假设曲线 $\gamma$的起点和终点分别为 $A,B$，在中间取 $n$个点 $A_1,\cdots,A_n$，可将 $\gamma$分为 $n+1$段。令 $A_0=A,A_{n+1}=B$，连接 $A_{k-1},A_k,k=1,\cdots,n+1$，得到一段内接折线。以内接折线的长度作为曲线弧长的估计。 $L\approx \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}||$这里 $A_k(k=0,\cdots,n+1)$视为向量。由于两点之间线段最短，如果取另外一个分划 $P_2:A_0^\prime=A,A_1^\prime,\cdots,A_m^\prime,A_{m+1}^\prime=B$，如果 $P_1:A_0,\cdots,A_{n+1}$都在 $P_2$内，则称 $P_2$是 $P_1$的加细，则 $\sum_{k=1}^{m+1}||A_k^\prime-A_{k-1}^\prime||\ge \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}||$不断加细，如果有一个上确界，那么这个上确界就称为是曲线的弧长，如下图。

如果 $A_1^\prime$在 $A_0,A_1$之间，那么必有 $||A_1^\prime-A_0||+||A_1-A_1^\prime||\ge ||A_1-A_0||$。这就是为什么 $\sum_{k=1}^{m+1}||A_k^\prime-A_{k-1}^\prime||\ge \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}||$

定义17.2 $\gamma$是一段 $R^n$上的连续曲线，如果上确界 $L=\sup_{\Delta:A_0,\cdots,A_n,\cdots,A_{n+1}是\gamma的分划}\sum_{k=1}^{n+1}||A_k-A_{k-1}||$存在，则称 $\gamma$为可求长曲线，其称 $L$为 $\gamma$的弧长

在定积分一节中，我们求弧长的办法是，对连续曲线 $\gamma:\phi(t)=(\phi_1(t),\cdots,\phi_n(t)),t\in[a,b]$对 $[a,b]$的分划 $\Delta:a=t_0<\cdots<t_n<t_{n+1}=b$，则 $L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})||$这个公式和定义17.2形式上不是完全一致的，但下面我们将证明这两个定义的完全相同的。

定理17.1 $\gamma:\phi(t),a\le t\le b$是 $R^n$的一段可求长曲线， $L$是其弧长，则 $L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})||$
该定理的过程与达布定理及其类似。

证：
由 $L$的定义，对任意的 $\varepsilon>0$，存在分划 $\Delta_0:a=t_0^{(0)}<t_1^{(0)}<\cdots<t_m^{(0)}<t_{m+1}^{(0)}=b$，满足 $L\ge \sum_{k=1}^{m+1}||\phi(t^{(0)}_{k})-\phi(t^{(0)}_{k-1})||>L-\frac{\varepsilon}{2}$由于 $\phi(t)$在 $[a,b]$上连续，则 $\phi(t)$在 $[a,b]$上一致连续，存在 $\delta>0$，当 $x_1,x_2\in [a,b]$， $|x_1-x_2|<\delta$时，就有 $||\phi(x_2)-\phi(x_1)||<\frac{\varepsilon}{2m(m+1)}$对任意的分划 $\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_s=b$，再设 $\Delta^\prime=\Delta_0\cup\Delta:a=t_0^\prime<t_1^\prime<\cdots<t_p^\prime<t_{p+1}^\prime=b$，则 $\begin{aligned} L\ge& \sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t_k^\prime)-\phi(t_{k-1}^\prime)||\\\ge &\sum_{k=1}^{m+1}||\phi(t^{(0)}_{k})-\phi(t^{(0)}_{k-1})||>L-\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$从而 $\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t_k^\prime)-\phi(t_{k-1}^\prime)||-L\right|<\frac{\varepsilon}{2}$只要 $\lambda(\Delta)<\delta$， $\Delta$中至多有 $m$个小区间插入了 $\Delta_0$的分点，一个小区间至多插入 $m$个 $\Delta_0$的分点，从而 $\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\right|\\ =&\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\\ <&m(m+1)\frac{\varepsilon}{2m(m+1)}=\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$从而 $\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||-L\right|\\ \le&\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\right|\\ +&\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-L\right|<\varepsilon \end{aligned}$因此 $L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})||$

模仿定积分几何应用中 $R^2$光滑曲线弧长的求法，可以证明 $R^n$中的光滑曲线 $\gamma:\gamma(t),t\in[a,b]$都是可求长曲线，并且 $L=\int_a^b||\gamma^\prime(t)||dt$于是，如果连续曲线由有限段光滑曲线拼接而成，那么该连续曲线也是可求长曲线。

第一型曲线积分的物理背景及定义

对于 $R^3$上的一条细钢丝 $\gamma$，在其上定义了一个密度函数 $\rho(x,y,z)$，怎么求其质量呢？如果钢丝是均匀的，那么其质量应该是 $\rho.L(\gamma)$，其中， $\rho$为钢丝的密度， $L(\gamma)$是钢丝的长度。如果钢丝不是均匀的，可以采取微元法：将钢丝分解为若干段小钢丝 $\gamma_1,\cdots,\gamma_n$，只要每段钢丝的弧长足够小，如果 $\rho$是连续的，在每段小钢丝就可以近似地视为均匀的小钢丝，任取 $\xi_k\in \gamma_k(k=1,\cdots,n)$，则估计其质量为 $m(\gamma)\approx\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)L(\gamma_k)$当钢丝越分越细时，误差越来越小，则小钢丝的质量就为 $m(\gamma)=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)L(\gamma_k)$其中， $\displaystyle\lambda(\Delta)=\max_{1\le i\le n}L(\gamma_k)$，求解的思路和定积分是相同的，不同的是现在是对曲线的积分。对以上物理背景进行抽象，就得到第一型曲线积分的定义。首先，如果 $\gamma$是可求长曲线，则连续曲线 $\gamma_k\subseteq \gamma$也是可求长的，这由可求长曲线的定义是容易看出的¹。

定义17.3 $\gamma$是 $R^n$上一段可求长曲线，起点和终点分别为 $A,B$， $\rho(x)$是 $\gamma$上的函数，如果存在实数 $I$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，从 $A$到 $B$任取 $A=A_0,A_1,\cdots,A_n,A_{n+1}=B$，只要 $\displaystyle\lambda=\max_{1\le i\le n+1}L(A_{i-1}A_i)<\delta$，任取 $\xi_k\in A_{k-1}A_k(k=1,\cdots,n+1)$，就有 $\left|\sum_{k=1}^{n+1}\rho(\xi_k)L(A_{k-1}A_k)-I\right|<\varepsilon$则称 $\rho$在 $\gamma$上可积， $I$为 $\rho$在 $\gamma$上的第一型曲线积分，记为 $\displaystyle\int_\gamma f(x)ds$

第一型曲线积分和定积分、重积分一样，有线性性质，不等式性质，区间可加性。

定理17.2 $\gamma$是 $R^n$上的可求长曲线， $f_1,f_2$在 $\gamma$上可积，则对于任意的实数 $\alpha,\beta$， $\alpha f_1+\beta f_2$在 $\gamma$上也可积，并且 $\int_\gamma (\alpha f_1(x)+\beta f_2(x))ds=\alpha\int_\gamma f_1(x)ds+\beta\int_\gamma f_2(x)ds$

定理17.3 $\gamma$是 $R^n$上的可求长曲线， $f(x)=1,x\in \gamma$在 $R^n$上可积，并且 $\int_\gamma f(x)ds = L(\gamma)$

定理17.4 $\gamma$是 $R^n$上的可求长曲线， $f_1,f_2$在 $\gamma$上可积，并且 $f_1(x)\le f_2(x)\quad x\in \gamma$，则 $\int_\gamma f_1(x)ds \le \int_\gamma f_2(x)ds$

定理17.5 $\gamma$是 $R^n$上的可求长曲线，起点和终点分别为 $A,B$，取一个分点 $C$， $f$在 $\gamma$上可积，则 $f$在 $AC$段和 $CB$段都可积，并且 $\int_{\gamma}f(x)ds=\int_{AC}f(x)ds+\int_{CB}f(x)ds$

第一型曲线积分的计算公式

第一型曲线积分的计算也是通过定积分进行。

定理17.6 光滑曲线 $\gamma:\phi(t),t\in[a,b]$，设 $\phi^\prime(t)\neq 0$， $f(x)$在 $\gamma$上连续，则 $f(x)$在 $\gamma$上可积，并且 $\int_\gamma f(x)ds=\int_a^b f(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt$

证：
令 $\displaystyle S(x_1,x_2)=\int_{x_1}^{x_2}||\phi^\prime(t)||dt$，则设 $\displaystyle m=\min_{t\in[a,b]}||\phi^\prime(t)||,M=\max_{t\in[a,b]}||\phi^\prime(t)||$，有 $m>0$²，因此 $m(x_2-x_1)\le S(x_1,x_2)\le M(x_2-x_1)$对 $\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$，对应 $\gamma$的分划 $\Delta^\prime: A_0=\phi(a),A_1=\phi(t_1),\cdots,A_n=\phi(t_n)=B$，由上式可以看出， $\lambda(\Delta^\prime)\to 0$的充要条件是 $\lambda(\Delta)\to 0$³。对任意的分划 $\Delta:a=t_0<\cdots<t_n=b$，任取 $\xi_k\in[t_{k-1},t_k](k=1,\cdots,n)$，由积分中值定理，存在 $\zeta_k\in[t_{k-1},t_k](k=1,\cdots,n)$，有 $\begin{aligned} &\sum_{k=1}^nf(\xi_k)[S(t_k)-S(t_{k-1})]=\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\int_{t_{k-1}}^{t_k}||\phi^\prime(t)||dt\\ =&\sum_{k=1}^nf(\xi_k)||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k \end{aligned}$ $\forall \varepsilon>0$，设 $\displaystyle M=\max_{t\in[a,b]}|f(\phi(t))|$，由于 $||\phi^\prime(t)||$在 $[a,b]$上一致连续，存在 $\delta_1>0$，对任意的 $x_1,x_2\in[a,b]$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_1$，就有 $\left|||\phi^\prime(x_1)||-||\phi^\prime(x_2)||\right|<\frac{\varepsilon}{2M(b-a)}$令 $\displaystyle I=\int_a^bf(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt$，存在 $\delta_2>0$，就有 $\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-I\right|<\frac{\varepsilon}{2}$只要 $\lambda(\Delta)<\delta_0=\min(\delta_1,\delta_2)$，就有 $\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k\right|\\ \le&\sum_{k=1}^n|f(\phi(\xi_k))||||\phi^\prime(\xi_k)||-||\phi^\prime(\zeta_k)|||\Delta t_k\\ \le&M(b-a)\frac{\varepsilon}{2M(b-a)}=\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$则 $\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k-I\right|\\ \le&\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-I\right|+\\&\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k\right|\\ <&\varepsilon \end{aligned}$因此 $f(x)$在 $\gamma$上可积，并且 $\int_\gamma f(x)ds=\int_a^b f(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt$

由第一型曲线积分的区间可加性，我们就可以计算逐段光滑的曲线上的曲线积分。计算第一型曲线积分的第一步，首先是要写出曲线的参数方程，然后再套用以上公式即可。

例17.1 计算 $\displaystyle \int_\gamma(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}})ds$，其中 $\gamma$为曲线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$

解：
将 $\gamma$写成参数方程形式 $\begin{cases} x=a\cos^3t\\ y=a\sin^3t \end{cases}$其中 $t\in[-\pi,\pi]$则 $\begin{cases} x^\prime=-3a\sin t\cos^2t\\ y^\prime=3a\cos t\sin^2t \end{cases}$则 $\sqrt{x^{\prime2}+y^{\prime2}}=3a|\sin t\cos t|$则 $\begin{aligned} &\int_\gamma(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}})ds=\int_{-\pi}^\pi{a^{\frac{4}{3}}}(\sin^4t+\cos^4t)(3a|\sin t\cos t|)dt\\ =&3a^{\frac{7}{3}}\int_{-\pi}^\pi(\sin^4t+\cos^4t)|\sin t\cos t|dt =4a^{\frac{7}{3}} \end{aligned}$

例17.2 求 $\displaystyle \int_Lxyds$，其中 $L$为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$与平面 $x+y+z=0$的交线

解：
为了写出 $L$的参数方程，我们首先要求出 $L$在 $Oxy$平面上的投影，联立 $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=a^2\\ x+y+z=0 \end{cases}$消去 $z$，得到 $x^2+y^2+(-x-y)^2=2x^2+2xy+2y^2=a^2$通过配方，得到 $2(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{2}y^2=a^2$通过变数替换后投影可以变换为椭圆，无论如何，从以上方程我们可以令 $\begin{cases} x+\frac{y}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t\\ y=\sqrt{\frac{2}{3}}a\sin t\\ z=-x-y \end{cases}$由此就可以得到 $L$的参数方程 $\begin{cases} x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t\\ y=\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t\\ z=-\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t \end{cases}$其中 $t\in [-\pi,\pi]$，则 $\sqrt{x^{\prime2}+y^{\prime2}+z^{\prime2}}=a$从而 $\begin{aligned} \int_Lxyds=&a\int_{-\pi}^\pi(\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t)(\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t)dt\\ =&-\frac{a^3}{3}\int_{-\pi}^\pi \sin^2tdt=-\frac{a^3\pi}{3} \end{aligned}$

例17.3 计算 $\displaystyle \int_L(xy+xz+yz)ds$， $L$同例17.2

解：
注意到 $L$上 $x,y,z$的地位是相同，比如，求解 $\displaystyle \int_Lxzds$，将参数方程写成 $\begin{cases} x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t\\ z=\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t \end{cases}$再代入就可以得到 $\displaystyle \int_Lxzds=-\frac{a^3\pi}{3}$，从而 $\int_L(xy+xz+yz)ds=-a^3\pi$

例17.4 计算 $\displaystyle \int_L\sqrt{2y^2+z^2}ds$，其中 $L$是 $x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$与 $x=y$的交线

解：
在 $L$上，有 $2y^2+z^2=a^2$，有 $\int_L\sqrt{2y^2+z^2}ds=a^2\int_Lds=\pi a^2$

第一型曲面积分

第一型曲面积分的物理背景及定义

同第一型曲面积分的物理背景类似，第一型曲面积分的物理背景是空间曲面的质量。如果 $S$是可求面积的均匀的空间曲面，设其密度为 $\rho$，那么 $S$的质量为 $\rho|S|$，其中 $|S|$是 $S$的面积。但如果 $S$不是均匀的空间区间，在 $S$上定义了密度函数 $\rho(x,y,z)$，可以将 $S$划分为可求面积的小区面块 $S_1,\cdots,S_n$，只要 $\displaystyle\max_{1\le i \le n}diam(S_i)$足够小，由一致连续性， $S_1,\cdots,S_n$都可以视为均匀曲面，任取 $\xi_k\in S_k(k=1,\cdots,n)$，则估计其质量为 $\displaystyle m(S)\approx\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)|S_k|$，当 $\displaystyle\max_{1\le i \le n}diam(S_i)\to 0$时，如果该和数有极限，则该极限为 $S$的质量。

定义17.4 设 $S$是一张可求面积的曲面，将 $S$分割为可求面积的小曲面块 $S_1,\cdots,S_n$，记该分划为 $\Delta$，定义 $\lambda(\Delta)=\max_{1\le i \le n}diam(S_i)$ $f(x)$是 $S$上的函数，如果存在实数 $I$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，对任意的分划 $\Delta:S_1,\cdots,S_n$，只要 $\lambda(\Delta)<\delta$，任取 $\xi_k\in S_k(k=1,\cdots,n)$，都有 $\left|\sum_{k=1}^nf(\xi_k)|S_k|-I\right|<\varepsilon$则称 $f$在 $S$上可积， $I$称为 $f$在 $S$上的第一型曲面积分，记为 $\displaystyle \iint_S f(x)ds$

同样可以写出曲面积分的性质：线性，不等式，可加性等，这与曲线积分比较类似。

第一型曲面积分的计算公式

关于第一型曲面积分的存在性，可以模仿定积分和重积分的可积性理论，建立起曲面积分的可积性理论，就可以证明如下命题：

命题17.1 $f(x,y,z)$在光滑曲面 $S$上连续，则 $f(x,y,z)$在 $S$上可积

下面我们给出第一型曲面积分的计算公式：

定理17.6 $f(x,y,z)$在光滑曲面 $\begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases}$上连续，其中 $(u,v)\in D$， $D$为可求面积的有界闭区域，其中 $r_u^\prime\times r_v^\prime\neq 0$，则 $\iint_S f(x,y,z)dS = \int_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))||r_u^\prime\times r_v^\prime||dudv$

该定理的证明和曲线积分的证明是类似的，需要用到重积分的积分中值定理，这里就不再赘述了。下面给出第一型曲面积分的几个算例。

例17.5 （利用曲面方程化简被积函数） 求解曲面积分 $\displaystyle \iint_S \frac{dS}{x^2+y^2}$，其中 $S$为柱面 $x^2+y^2=R^2$被平面 $z=0$和 $z=H$所截的部分

解：
由曲面方程为 $x^2+y^2=R^2$，得到 $\iint_S\frac{dS}{x^2+y^2}=\frac{1}{R^2}\iint_S dS=\frac{2RH\pi}{R^2}=\frac{2H\pi}{R}$

例17.6 求解曲面积分 $\displaystyle \iint_S z^2 dS$，其中 $S$为 $x=u\cos v,y=u\sin v,z= v(0\le u\le a,0\le v\le 2\pi)$

解：
$r_u^\prime=(\cos v,\sin v,0),r_v^\prime=(-u\sin v,u\cos v,1)$，则曲面积分化为重积分为⁴ $\begin{aligned} \iint z^2dS=&\iint_{[0,a]\times[0,2\pi]}v^2\sqrt{u^2+1}dudv\\=&\frac{4\pi^3}{3}(\ln(a+\sqrt{1+a^2})+a\sqrt{1+a^2}) \end{aligned}$

例17.7 （求解曲面积分时注意完整考虑整个曲面，不要遗漏某一两面）求解第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_S x^2+y^2 dS$，其中 $S$为立体 $\sqrt{x^2+y^2}\le z\le 1$的边界曲面

解：
需要注意的是，这个立体是一个倒圆锥，有一个底面和一个侧面，不要遗漏掉底面。设底面为 $S_1$，侧面为 $S_2$，则 $S_1:z=1,x^2+y^2\le 1$，从而 $\begin{aligned} &\iint_{S_1} x^2+y^2 dS=\iint_{x^2+y^2\le 1}x^2+y^2 dS\\ =&\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r^3dr=\frac{\pi}{2} \end{aligned}$侧面写成参数方程形式为 $\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=r \end{cases}$取值范围为 $0\le r\le 1,0\le \theta\le 2\pi$，此时 $\sqrt{A^2+B^2+C^2}=\sqrt{2}r$，则将曲面积分化为重积分即为 $\iint_{S_2} x^2+y^2 dS=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^3dr=\frac{\sqrt{2}\pi}{2}$则 $\iint_S x^2+y^2 dS=\iint_{S_1} x^2+y^2 dS+\iint_{S_2} x^2+y^2 dS=\frac{(1+\sqrt{2})\pi}{2}$

第二型曲线积分与曲面积分

第二型曲线积分

第二型曲线积分的物理背景及定义

第二型曲线积分的物理背景是变力做功。

如上图，如果在牵引力 $F$的作用下，箱子移动的位移 $s$，则在力学中，力 $F$对箱子所作的功为 $F.s$，这是恒力对一个质点的作用。如果是变力，该如何求解力对质点所作的功呢。假设在平面上有一个力场 $F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，在力的作用下，质点的运动轨迹为 $s：s(t)=(x(t),y(t)),t\in[\alpha,\beta]$，这里假设运动轨迹是光滑的。则我们可以将运动曲线划分为 $n$段小曲线 $s_1,\cdots,s_n$，每段运动都可以视为恒力做功，任取 $(\xi_k,\zeta_k)\in s_k$，在该段发生的位移为 $\Delta s_k$，则估计该力所做的功为 $W\approx \sum_{k=1}^nF(\xi_k,\zeta_k).\Delta s_k$当曲线段最大直径趋于0时，如果以上和式右极限，即为力场对质点所作的功。将以上物理背景进行抽象，就得到第二型曲线积分。

定义17.5 $L$为 $R^n$上的连续曲线，起点为 $A$，终点为 $B$， $F(x)=(F_1(x),\cdots,F_n(x))$是定义在 $L$上的 $n$维向量函数，如果存在实数 $I$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，对任意的 $L$的分划 $\Delta:A=A_0,A_1,\cdots,A_{m-1},A_m=B$，只要 $\lambda(\Delta)<\delta$，不论取何种 $\xi_k\in A_{k-1}A_k$，其中 $A_{k-1}A_k$表示 $A_{k-1}$到 $A_k$的弧段（ $k=1,\cdots,m$），都有 $\left|\sum_{k=1}^m F(\xi_k).(A_k-A_{k-1}) - I\right|<\varepsilon$在上式中， $A_k$表示向量 $(k=1,\cdots,n)$，则称 $F$在 $L$上的第二型曲线积分存在， $I$记为 $\displaystyle\int_L\sum_{k=1}^nF_k(x)dx_k$

第二型曲线积分是有向的，计算第二型曲线积分时必须指定起点和终点，容易证明第二型曲线积分有线性性质，区间可加性，并且起终点互换时，第二型曲线积分的值为原来的值的相反数，具体的定理和证明就不一一写出了。

第二型曲线积分的计算方法

同样地，我们仅给出光滑曲线上的第二型曲线积分的计算公式。对光滑曲线 $L:x(t)=(x_1(t),\cdots,x_n(t))\quad t\in[a,b]$ $F(x)=(F_1(x),\cdots,F_n(x))$是定义在 $L$上的连续函数，对分划 $\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_m=b$，任取 $\xi_k\in[t_{k-1},t_k](k=1,\cdots,m)$，得到一个和式 $\sum_{k=1}^mF(x(\xi_k)).(x(t_k)-x(t_{k-1}))=\sum_{k=1}^m\sum_{i=1}^nF_i(x(\xi_k))(x_i(t_k)-x_i(t_{k-1}))$由拉格朗日中值定理，对任意的 $i=1,\cdots,n,k=1,\cdots,m$，存在 $\zeta_{ik}\in [t_{k-1},t_k]$，满足： $x_i(t_k)-x_i(t_{k-1})=x_i^\prime(\zeta_{ik})\Delta t_k$代入，得到 $\sum_{k=1}^mF(x(\xi_k)).(x(t_k)-x(t_{k-1}))=\sum_{k=1}^m\sum_{i=1}^nF_i(x(\xi_k))x_i^\prime(\zeta_{ik})\Delta t_k$对任意的 $\varepsilon>0$，由于 $F$是连续的，设 $\displaystyle M_1=\max_{1\le k\le n}\max_{t\in[a,b]}|F_i(x(t))|$，由一致连续性，存在 $\delta>0$，当 $x_1,x_2\in[a,b],|x_1-x_2|<\delta_1$时，对任意的 $i=1,\cdots,n$，都有 $|x_i^\prime(x_1)-x_i^\prime(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2M(b-a)}$又存在 $\delta_2>0$，当 $\lambda(\Delta)<\delta_2$时，有 $\left|\sum_{k=1}^mF_i(x(\xi_k))x_i^\prime(\xi_k)\Delta t_k-\int_a^bF_i(x(t))x_i^\prime(t)dt\right|<\frac{\varepsilon}{2}$则当 $\lambda(\Delta)<\min(\delta_1,\delta_2)$时，有 $\begin{aligned} &\left|\int_a^bF_i(x(t))x_i^\prime(t)dt-\sum_{k=1}^mF_i(x(\xi_k))x_i^\prime(\zeta_{ik})\Delta t_k\right|\\ \le&\left|\sum_{k=1}^mF_i(x(\xi_k))x_i^\prime(\zeta_{ik})\Delta t_k-\sum_{k=1}^mF_i(x(\xi_k))x_i^\prime(\xi_k)\Delta t_k\right|+\\ &\left|\int_a^bF_i(x(t))x_i^\prime(t)dt-\sum_{k=1}^mF_i(x(\xi_k))x_i^\prime(\xi_k)\Delta t_k\right|\\ <&\frac{\varepsilon}{2}+\sum_{k=1}^m|F_i(x(\xi_k))||x_i^\prime(\xi_k)-x_i^\prime(\zeta_{ik})|\Delta t_k\\ <&\frac{\varepsilon}{2}+M\frac{\varepsilon}{2M(b-a)}\sum_{k=1}^m\Delta t_k=\varepsilon \end{aligned}$得出结论，对 $i=1,\cdots,n$，有 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} \sum_{k=1}^m F_i(x(\xi_k))(x_i(t_{k})-x_i(t_{k-1}))=\int_a^bF_i(x(t))x_i^\prime(t)dt$故 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^m F_i(x(\xi_k))(x_i(t_{k})-x_i(t_{k-1}))=\sum_{i=1}^n\int_a^bF_i(x(t))x_i^\prime(t)dt$而 $\displaystyle\max_{1\le k\le m}diam(s_k)\to 0$的充要条件就是 $\displaystyle \lambda(\Delta)\to0$。于是就有如下定理

定理17.7 对光滑曲线 $L:x(t)=(x_1(t),\cdots,x_n(t))\quad t\in[a,b]$ $F(x)=(F_1(x),\cdots,F_n(x))$是定义在 $L$上的连续函数， $F(x)$在 $L$上的第二型曲线积分存在，并且 $\int_L\sum_{k=1}^nF_k(x)d x_k=\sum_{k=1}^n\int_a^bF_i(x(t))x_i^\prime(t)dt$

由定理17.7，实际上我们可以分开定义 $\displaystyle\int_L F_i(x)dx_i(i=1,\cdots,n)$，但如果这样定义，就不能反映出第二型曲线积分的物理背景。但计算第二型曲线积分时，需要逐个计算 $\displaystyle\int_L F_i(x)dx_i(i=1,\cdots,n)$，再求和。以下是第二型曲线积分的若干算例。

例17.8（确定曲线的方向） 计算第二型曲线积分 $\displaystyle \int_L (y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz$，其中 $L$为曲线 $x^2+y^2=1,z=0$，从 $z$轴正向看去取逆时针

解：

计算改积分的难点是确定曲线的方向，将曲线写成参数方程的形式 $\begin{cases} x=\cos t\\ y=\sin t\\ z=0 \end{cases}$方向如上图所示，则参数的取值范围是 $[0,2\pi]$，起点为 $t=0$，终点为 $t=2\pi$，则 $\begin{aligned} &\int_L (y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz\\ =&\int_0^{2\pi}(-\sin^2 t+\cos^2 t) dt=0 \end{aligned}$

注：如何理解例17.8中的从z轴正向看去成逆时针方向：实际上，可以手比划出一个圈，从下网上看，在该视角下确定逆时针方向，标上箭头即可。当然，我们可以用右手螺旋法则确定该方向，伸出右手，拇指向上，另外四指所指的方向即为题目所指定的方向。

例17.9（利用投影法确定曲线参数方程） 计算第二型曲线积分 $\displaystyle\int_L ydx+zdy+xdz$，其中 $L$为曲线 $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=2z\\x+z=1\end{cases}$从 $z$轴正向看去， $L$取逆时针

解：
该题的难点在于确定曲线的参数方程，联立两个曲线，消去 $z$，得到 $2x^2+y^2=1$可见曲线在 $Oxy$平面上的投影是一个椭圆，由此，就可以很容易的写出该曲线的参数方程 $\begin{cases} x=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta\\ y=\sin \theta\\ z=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta \end{cases}$接下来，我们需要确定曲线的方向，由右手螺旋法则， $\theta$的取值范围是 $[0,2\pi]$，起点是 $\theta=0$，终点是 $\theta=2\pi$，因此 $\begin{aligned} &\int_Lydx+zdy+xdz\\=&\int_0^{2\pi}(-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin^2\theta+(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta)\cos\theta+\frac{1}{2}\sin\theta\cos\theta) d\theta\\ =&-\sqrt{2}\pi \end{aligned}$

对于闭曲线，设其围成的图形为 $S$，指定其正向为向该方向移动， $S$始终在其左手边，则对于闭曲线 $L$，记其正向的曲线积分为 $\oint_LPdx+Qdy$
例17.10 （利用曲线来简化被积函数）计算下列第二型曲线积分 $\displaystyle \oint_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$，其中 $L$为 $x^2+y^2=1$

解：
在该曲线上，有 $x^2+y^2=1$，则 $\oint_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=\oint_Lxdy-ydx$曲线的参数方程为 $\begin{cases} x=\cos\theta\\ y=\sin\theta \end{cases}$取值范围 $[0,2\pi]$，起点为 $\theta=0$，终点为 $\theta=2\pi$，则 $\oint_Lxdy-ydx=\int_0^{2\pi}(\cos^2\theta+\sin^2\theta) d\theta=2\pi$

两类曲线积分的联系

第一型曲线积分和第二型曲线积分是有联系的。若光滑曲线 $L:x(t),t\in [a,b]$，满足 $x^\prime(t)\neq 0,\forall t\in [a,b]$则对 $t\in[a,b]$，在该点处曲线的切向量为 $(x_1^\prime(t),\cdots,x_n^\prime(t))$，单位向量为 $(\frac{x_1^\prime(t)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_i^{\prime2}(t)}}},\frac{x_2^\prime(t)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_i^{\prime2}(t)}}},\cdots,\frac{x_n^\prime(t)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_i^{\prime2}(t)}}})$记 $\cos \alpha_i=\frac{x_i^\prime(t)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_i^{\prime2}(t)}}}$，若 $f_i(x_1,\cdots,x_n)(i=1,\cdots,n)$在 $L$上连续，则 $\int_L\sum_{i=1}^nf_idx_i=\int_a^b\sum_{i=1}^nf_i\cos\alpha_i\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_i^{\prime2}(t)}}=\int_L\sum_{i=1}^nf_i\cos\alpha_ids$在这里 $\cos\alpha_i(i=1,\cdots,n)$是 $L$上的连续函数，这个公式就建立了第二型曲线积分和第一型曲线积分的联系，当然，第一型曲线积分是没有方向的，之所以第二型曲线积分有方向，是因为 $\cos\alpha_i(i=1,\cdots,n)$是由曲线的方向确定的。

第二型曲面积分

曲面的定向

在介绍第二型曲面积分的物理背景以及其定义之前，我们首先需要介绍曲面的定向。首先我们要给出可定向曲面和不可定向曲面的概念。所谓可定向曲面，又称双侧曲面，也就是对曲面上任意一点，都有两个方向相反的单位法向量，确定一个正方向后，绕着曲面环绕一周，单位法向量连续变化，回到原点后单位法向量应当同原来相同。举一个例子：圆柱面。下图是一个圆柱面

从 $A$点开始，绕着图中的闭曲面，环绕一周， $A$处法向量确定为向外的法向量，则环绕一周后，法向量连续变化，回到 $A$点时，法向量和原来相同，此时称该曲面为可定向曲面或双侧曲面。不可定向曲面则相反，莫比乌斯带就是一个典型的单侧曲面或不可定向曲面。莫比乌斯带的构造如下，取一个细长的矩形纸带 $ABB^\prime A^\prime$， $A$对应 $B^\prime$， $B$对应 $A^\prime$将纸袋 $AB$边和 $A^\prime B^\prime$边拼接起来


沿着原来的直线 $CC^\prime$运动，在 $C$处选定一个单位法向量，且连续变化，到达 $C^\prime$点时，法向量则会变成原来的反方向。我们的讨论仅限于双侧曲面，对于双侧曲面，每一点都取一个正方向（要求这个单位向量作为曲面的向量函数在曲面上是连续的），这样就规定的曲面正侧，设此时单位向量为 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$。则另一侧称为负侧，对应的法向量为 $-(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$。当 $\cos\gamma>0$，则称此时的正侧为上侧，反之称下侧，当 $\cos\beta>0$，则称此时的正侧为右侧，反之称左侧，当 $\cos\alpha>0$，则称此时的正侧为前侧，反之为后侧。对于封闭曲面，设其围成的立体为 $V$，若单位向量指向 $V$，称该侧为内侧，否则称外侧。

第二型曲面积分的物理背景及定义

第二型曲面积分的物理背景是通过一个空间曲面的流体的流量，设流体流动的速度向量为 $v(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$。如果流速是恒定的，通过一个平面区域 $\Delta S$，该平面的法向量为 $n$，则流量应该为 $v.n|\Delta S|$，其中 $|\Delta S|$为 $\Delta S$的面积，如果流速在空间上不是恒定的，则我们可以将曲面划分为若干小区块，只要最大直径足够小，小区块可以近似的认为是平直的，任取其中一点的单位法向量 $n(\xi_k)=(\cos\alpha_k,\cos\beta_k,\cos\gamma_k)$，估计该曲面块上的流量为 $n(\xi_k).v(\xi_k)|\Delta S_k|$，则估计整个曲面的流量为 $\displaystyle \sum_{k=1}^m n(\xi_k).v(\xi_k)|\Delta S_k|$，当 $\displaystyle \max_{1\le i\le m}diam(\Delta S_k)\to 0$时，如果以上和式有极限存在，该极限就是单位时间内该流量场通过该空间曲面的流量。再考察以上和式 $\begin{aligned} &\sum_{k=1}^m n(\xi_k).v(\xi_k)|\Delta S_k|\\=&\sum_{k=1}^m P(\xi_k)\cos\alpha_k|\Delta S_k|+\sum_{k=1}^m Q(\xi_k)\cos\beta_k|\Delta S_k|+\sum_{k=1}^m R(\xi_k)\cos\gamma_k|\Delta S_k| \end{aligned}$当 $v$连续时，三个曲面积分都存在 $\iint_S P\cos\alpha dS,\iint_S Q\cos\beta dS,\iint_S R\cos\gamma dS$并且 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^m P(\xi_k)\cos\alpha_k|\Delta S_k|=\iint_S P\cos\alpha dS\\ \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^m Q(\xi_k)\cos\beta_k|\Delta S_k|=\iint_S Q\cos\beta dS\\ \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^m R(\xi_k)\cos\gamma_k|\Delta S_k|=\iint_S R\cos\gamma dS$记 $\displaystyle \iint_S P\cos\alpha dS=\iint_S Pdydz,\iint_S Q\cos\beta dS=\iint_S Qdzdx,\iint_S R\cos\gamma dS=\iint_S Rdxdy$。我们称这个积分是第二型曲面积分，从定义来看，第二型曲面积分是有方向的，方向就体现在正侧的选择上，第二型曲面积分和第一型曲面积分的联系是 $\iint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint_S P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma dS$这与第一型曲线积分和第二型曲线积分的联系是一致的。

第二型曲面积分的计算方法

如果光滑曲面 $\begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases}$其中 $(u,v)\in D$， $D$是可求面积的有界闭区域，满足 $r_u^\prime\times r_v^\prime\neq 0$，则对任意的 $(u,v)\in D$，在该点处的法向量为 $\pm (A,B,C)\quad A=\frac{\partial (y,z)}{\partial(u,v)},B=\frac{\partial (z,x)}{\partial(u,v)},C=\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}$选定其中一侧为正侧，设正侧的法向量为 $(A,B,C)$，则第二型曲面积分的计算公式为 $\iint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iint_D PA+QB+RCdudv$证明方法和第一型曲面积分公式的证明方法是类似的（利用积分中值定理和一致连续性），这里就不再具体写出，下面给出一个算例。

例17.11 （利用曲面特征化简被积函数）计算第二型曲面积分 $\displaystyle I=\iint_S \frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中 $S$为 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$的上侧

解：
由于在曲面上有 $x^2+y^2+z^2=a^2$，则 $\iint_S \frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{a^3}\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy$曲面的参数方程为 $\begin{cases} x=a\cos\varphi\cos\theta\\ y=a\cos\varphi\sin\theta\\ z=a\sin\varphi \end{cases}$取值范围为 $0\le \varphi \le\frac{\pi}{2},0\le \theta \le 2\pi$，并且 $r_\varphi^\prime=(-a\sin\varphi\cos\theta,-a\sin\varphi\sin\theta,a\cos\varphi)$， $r_\theta^\prime=(-a\cos\varphi\sin\theta,a\cos\varphi\cos\theta,0)$，则 $A=a^2\cos^2\varphi\cos\theta\\ B=a^2\cos^2\varphi\sin\theta\\ C=a^2\sin\varphi\cos\varphi$代入 $\begin{aligned} &\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy\\ =&a^3\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi a^3 \end{aligned}$因此 $\iint_S \frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}=2\pi$

积分之间的联系

格林公式

定理17.8 $P,Q$在区域 $\Omega\subseteq R^2$上连续可导， $D\subseteq \Omega$是由有限条逐段光滑的简单闭曲线 $L$围成的有界闭区域，则有 $\int_L Pdx+Qdy=\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$其中 $L$取正向

我们先来阐述几个概念，对于一条若当闭曲线 $L$，存在一个有界闭区域和一个无界闭区域，均以 $L$为边界，这就是若尔当定理。其具体的证明需要用到拓扑上的概念，这里我们就不给出证明了。但是这个定理的几何解释是相当直观的，见下图。

$L$是一条简单闭区间， $D_1$是一个有界区域， $D_2$是一个无界区域，但是两者均以 $L$为边界，现在我们引入单连通、多连通的概念， $D$是一个区域或闭区域，如果在 $D$内任作若尔当闭曲线 $L^\prime$，以 $L^\prime$为边界的有界闭区域 $D^\prime$满足 $D^\prime\subseteq D$，则称 $D$是单连通区域，否则称为多连通区域，我们可以给出一个直观的几何解释。


如果区域 $D$内有一个“洞”，在这个“洞”外围画一条若尔当闭曲线，则其围成的有界闭区域不全在 $D$内，如上图。如果 $D$内没有“洞”，则无论在 $D$内如何画若当闭曲线，其围成的有界闭区域一定全部包含在 $D$内，记为单连通区域。所谓单连通区域，从几何直观讲，即是内部没有"洞"的区域。如果含有一个洞，上面左边的那幅图所示的区域，其边界是两条若当闭曲线，称为二连通区域，如果有两个洞，则边界由三条若当闭曲线构成，以此类推,如果边界由 $k$条若当闭曲线构成，则称该区域为 $k$连通区域。我们先就单连通区域讨论格林公式。先考察X型区域 $D=\{(x,y):a\le x \le b,f(x)\le y\le g(x)\}$： $\begin{aligned} &\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\int_a^bdx\int_{f(x)}^{g(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dy\\ =&\int_a^bP(x,g(x))dx-\int_a^b P(x,f(x)dx \end{aligned}$其边界由四条曲线构成，如下图

设 $f(x),g(x)$都连续可微，则 $L_1$的参数方程可表为 $\begin{cases} x=t\\ y=f(t) \end{cases}$取值范围 $[a,b]$，起点为 $a$，终点为 $b$，则 $\int_{L_1}Pdx=\int_a^bP(t,f(t))dt$ $L_3$的参数方程可表为 $\begin{cases} x=t\\ y=g(t) \end{cases}$取值范围 $[a,b]$，起点 $b$，终点 $a$，则 $\int_{L_3}Pdx=\int_b^aP(t,g(t))dt$而 $\int_{L_2}Pdx=\int_{L_4}Pdx=0$于是 $\int_LPdx=\int_a^bP(x,f(x))dx-\int_a^bP(x,g(x))dx=-\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}dxdy$同样，对 $Y$型区域，成立 $\int_LQdy=\iint_D\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy$如果 $D$即是 $X$型区域，又是 $Y$型区域，则 $\int_LPdx+Qdy=\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$于是格林公式成立，对于一般的由逐段光滑的闭曲线围成单连通区域，可以加若干光滑曲线将其划分为有限个由逐段光滑的闭曲线围成的单连通区域之并，每个小区域即是 $X$型区域，又是 $Y$型区域，具体操作超出数学分析课程的范畴。从下图可以看出，如果两个区域有公共边界，则公共边界曲线段上方向恰好相反，正负相抵消，最后只留下 $D$的边界曲线上的曲线积分。


最后，再由二重积分的区域可加性，可以证得一般单连通区域上的格林公式，对于多连通区域，也可以加若干条光滑曲线划分为若干个单连通区域，所加的曲线在应用格林公式时方向相反，正负相消，最后只留下边界的曲线。注意，一般而言，正向是逆时针的，但是如果是洞的边界则不一定，如上图，按照运动过程中 $D$始终在左手边，内部的光滑曲线正向应当取顺时针方向。我们之前曾经给出参数方程形式下求图形面积的公式 $S=\frac{1}{2}\int xdy-ydx$我们现在从格林公式的角度再推导这个公式，若 $D$是由有限条逐段光滑的若当闭曲线围成的区域，那么 $Q(x,y)=\frac{x}{2}\\ P(x,y)=-\frac{y}{2}$则 $Q_x^\prime-P_y^\prime=1$由格林公式 $\frac{1}{2}\int_L xdy-ydx=\iint_Ddxdy=S(D)$这就是我们把面积公式写成这种形式的原因。在求解曲线积分时，如果使用常规方法，则对于若干段光滑曲线围成的闭曲线，则需要分段计算再相加，但是如果使用格林公式，可以化为二重积分，某些情况下可以简化计算。

例17.12 计算第二型曲线积分 $\displaystyle\oint_L2xydx+y^2dy$，其中 $L$是由两条连接点 $(0,0),(4,2)$的曲线 $y=\frac{x}{2}$与 $y=\sqrt{x}$组成的封闭曲线

解：
$P(x,y)=2xy,Q(x,y)=y^2$，则 $Q_x^\prime-P_y^\prime=-2x$则由格林公式 $\oint_L 2xydx+y^2dy=-2\int_0^4dx\int_{\frac{x}{2}}^{\sqrt{x}}xdy=-\frac{64}{15}$

例17.13 计算第二型曲线积分 $\displaystyle \oint_L(x^2+4xy)dx+(2x^2+3y)dy$，中 $L$为椭圆周 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$

解：
$P(x,y)=x^2+4xy,Q(x,y)=2x^2+3y$，则 $Q_x^\prime-P_y^\prime=4x-4x=0$因此，由格林公式 $\oint_L(x^2+4xy)dx+(2x^2+3y)dy=0$

实际上，例17.13中无论取任何分段光滑的闭曲线，其曲线积分都是0。在这种条件下，积分和路径是无关的，只要确定一条 $A$到 $B$的逐段光滑的若当曲线 $L_1$，再补充一条 $B$到 $A$的逐段光滑的若当曲线 $L_2$，构成一条逐段光滑的若当闭曲线，如果 $\int_{L_1}Pdx+Qdy+\int_{L_2}Pdx+Qdy=0$则 $-\int_{L_2}Pdx+Qdy=\int_{L_1}Pdx+Qdy$ $L_2$的反方向即是从 $A$到 $B$的一条逐段光滑的若当曲线，则两条路径的曲线积分是相同的，即所谓的积分与路径无关。就可以选择一条方便计算的路径来计算曲线积分，这是格林公式的小技巧之一。

例17.14 计算第二型曲线积分 $\displaystyle \int_L(e^x\sin y-x-y)dx+(e^x\cos y -x)dy$，其中 $L$是曲线 $y=\sin x$从 $(0,0)$到 $(\pi,0)$的部分

解：
$P(x,y)=e^x\sin y-x-y,Q(x,y)=e^x\cos y -x$，则 $Q_x^\prime-P_y^\prime=0$，设 $L_2$为 $(\pi,0)$到 $(0,0)$的线段，则由格林公式 $\begin{aligned} &\int_L(e^x\sin y-x-y)dx+(e^x\cos y -x)dy\\+&\int_{L_2}(e^x\sin y-x-y)dx+(e^x\cos y -x)dy=0 \end{aligned}$而 $\begin{aligned} &\int_{L_2}(e^x\sin y-x-y)dx+(e^x\cos y -x)dy\\ =&\int_{\pi}^0 -xdx=\frac{\pi^2}{2} \end{aligned}$因此 $\int_L(e^x\sin y-x-y)dx+(e^x\cos y -x)dy=-\frac{\pi^2}{2}$

即使 $Q_x^\prime-P_y^\prime\neq0$，应用格林公式改变路径某些情况下也可以简化计算。

例17.15 计算第二型曲线积分 $\displaystyle\int_L(2x^2y-y^2\cos x)dx+(1-2y\sin x+3x^2y^2)dy$，其中 $L$为抛物线 $x=\frac{\pi}{2}y^2$从点 $(0,0)$到 $(\frac{\pi}{2},1)$的部分

解：
$P(x,y)=2x^2y-y^2\cos x,Q(x,y)=1-2\sin x+2x^2y^2$，则 $Q_x^\prime-P_y^\prime=6xy^2-2x^2$令 $L_1$为 $(0,0)$到 $(\frac{\pi}{2},0)$之间的线段， $L_2$为 $(\frac{\pi}{2},0)$到 $(\frac{\pi}{2},1)$之间的线段，则 $\int_{L_1}Pdx+Qdy=\int_0^{\frac{\pi}{2}}0dx=0\\ \int_{L_2}Pdx+Qdy=\int_0^1{1-2y+\frac{3\pi^2}{4}}y^2dy=\frac{\pi^2}{4}$由格林公式 $\frac{\pi^2}{4}-\int_LPdx+Qdy=\int_0^1dy\int_{\frac{\pi}{2}y^2}^{\frac{\pi}{2}}6xy^2-2x^2dx=\frac{\pi^2}{7}-\frac{\pi^3}{14}$因此 $\int_LPdx+Qdy=\frac{\pi^2}{28}(2\pi+3)$

例17.16（利用格林公式转换积分曲线） 计算第二型曲线积分 $\displaystyle \oint_L \frac{(ax-by)dx+(bx+ay)dy}{x^2+y^2}$，其中 $L$为椭圆周 $\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{d^2}=1$

解：
如果用参数方程法直接计算，分母让我们的被积函数变得十分复杂，此时，我们可以试探性地用格林公式： $P(x,y)=\frac{ax-by}{x^2+y^2},Q(x,y)=\frac{bx+ay}{x^2+y^2}$，当 $x^2+y^2\neq 0$时，有 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{by^2-bx^2-2axy}{(x^2+y^2)^2}\\ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{by^2-bx^2-2axy}{(x^2+y^2)^2}$很巧合的是 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$对任意的 $\delta>0$，令曲线 $L_\delta:x^2+y^2=\delta^2$，方向呈逆时针，则 $\oint_{L_\delta}\frac{(ax-by)dx+(bx+ay)dy}{x^2+y^2}=2\pi b$由格林公式，取 $\delta$足够小，使得 $L_\delta$完全包含在椭圆 $\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{d^2}\le 1$内，则 $\oint_L Pdx+Qdy-\oint_{L_\delta}Pdx+Qdy=0$故 $\oint_L Pdx+Qdy=2\pi b$

例17.17 （逆向使用格林公式） $f(x,y)$二阶连续可微，满足 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=e^{-(x^2+y^2)}$，计算积分 $\displaystyle \iint_{x^2+y^2\le 1}(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y})dxdy$

解：
令 $P(x,y)=-(x^2+y^2-1)\frac{\partial f}{\partial y},Q(x,y)=(x^2+y^2-1)\frac{\partial f}{\partial x}$，则 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x^2+y^2-1)+2x\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x^2+y^2-1)-2y\frac{\partial f}{\partial y}$由格林公式有 $\begin{aligned} &\oint_{x^2+y^2=1}Pdx+Qdy=\iint_{x^2+y^2\le 1}(x^2+y^2-1)(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2})dxdy\\ +&2\iint_{x^2+y^2\le 1}(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y})dxdy \end{aligned}$则 $\begin{aligned} &\iint_{x^2+y^2\le 1}(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y})dxdy\\=&-\frac{1}{2}\iint_{x^2+y^2\le 1}(x^2+y^2-1)(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2})dxdy\\ =&-\frac{1}{2}\iint_{x^2+y^2\le 1}(x^2+y^2-1)e^{-(x^2+y^2)}dxdy\\ =&-\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r(r^2-1)e^{-r^2}dr=\frac{\pi}{2e} \end{aligned}$

高斯公式

定理17.9 $V\subseteq R^3$是由有限块光滑双侧曲面所围成的有界闭区域， $P,Q,R$在包含 $V$的一个区域上连续可微，则 $\iiint_V{(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz}=\iint_{\partial V}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$其中曲面积分的方向向外

高斯公式的证明和格林公式是类似的，同样先证明高斯公式在一些特殊的区域上成立，再用这些区域逼近一般的区域。我们这里仅作简单的推导：
设 $V=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\varphi(x,y)\le z \le \psi(x,y)\}$，其中 $D$是由逐段光滑的简单闭曲线围成的 $R^2$上的闭区域， $\varphi,\psi$连续可微，我们称这类型的区域为 $Z$型区域。下面我们证明，在 $Z$型区域上，成立 $\iiint_V \frac{\partial R}{\partial z}dxdydz=\iint_{\partial V}Rdxdy$首先 $\begin{aligned} &\iiint_V\frac{\partial R}{\partial z}dxdydz=\iint_Ddxdy\int_{\varphi(x,y)}^{\psi(x,y)}\frac{\partial R}{\partial z}dz\\ =&\iint_DR(x,y,\psi(x,y))dxdy-\iint_DR(x,y,\varphi(x,y))dxdy \end{aligned}$ $V$由一个下底面 $S_1$，一个上底面 $S_2$以及以下侧面 $S_3$构成，设 $D$的边界曲线 $L$是光滑的⁵，设 $L:x=x(t),y=y(t),t\in [a,b]$。则 $S_1:\begin{cases} x=x\\ y=y\\ z=\varphi(x,y) \end{cases}(x,y)\in D$则法向量为 $(\varphi_x^\prime,\varphi_y^\prime,-1)$，则 $\iint_{S_1}Rdxdy=-\iint_D R(x,y,\varphi(x,y))dxdy$同理就有 $\iint_{S_2}Rdxdy=\iint_D R(x,y,\psi(x,y)dxdy$侧面的参数方程可表为 $\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z \end{cases}$其中 $a\le t\le b,\varphi(x(t),y(t))\le z\le \psi(x(t),y(t))$，法向量为 $(x^\prime(t),-y^\prime(t),0)$，很显然 $\iint_{S_3}Rdxdy=0$因此 $\iint_{\partial V} Rdxdy=\iint_D R(x,y,\psi(x,y)dxdy-\iint_D R(x,y,\varphi(x,y)dxdy$同样地可以定义 $Y$型区域和 $X$型区域，如果一个区域同时是 $X,Y,Z$型区域，高斯公式成立，对于一般区域，划分为 $XYZ$型区域的乘积即可，证明的细节超出数学分析的范畴，这里就不给出详细证明了。

例17.18 （利用高斯公式将第二型曲面积分化为三重积分） $\displaystyle\iint_S x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy$， $S$为锥面 $x^2+y^2=z^2(0\le z\le h)$，下侧

解：
设 $V$为圆锥 $x^2+y^2\le z^2(0\le z\le h)$，设 $S_1$为 $z=h,x^2+y^2\le h^2$，上侧，则由高斯公式 $\begin{aligned} &\iint_{S_1}x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy+\iint_{S}x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy\\ =&2\iiint_V (x+y+z)dxdydz \end{aligned}$求解三重积分 $\displaystyle \iiint_V (x+y+z)dxdydz$，作变换 $\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=u \end{cases}0\le u\le h,0\le \theta \le 2\pi,0\le r\le u$ $|\det(J)|=r$，有 $\begin{aligned} &\iiint_V (x+y+z)dxdydz\\ =&\int_0^hdu\int_0^udr\int_0^{2\pi}(r^2(\cos\theta+\sin\theta)+ru)d\theta=\frac{h^4\pi}{4} \end{aligned}$再求解 $\iint_{S_1}x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=h^2\iint_{x^2+y^2\le h^2}dxdy=h^4\pi$因此 $\iint_S x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=\frac{h^4\pi}{2}-h^4\pi=-\frac{h^4\pi}{2}$

对由逐片光滑的曲面围成的立体 $V$，由高斯公式，有 $\iint_{\partial V}xdydz+ydzdx+zdxdy=3\iiint_Vdxdydz$因此，该立体的体积为 $\displaystyle \frac{1}{3}\iint_{\partial V}xdydz+ydzdx+zdxdy$，就能通过曲面积分求解立体的体积。

例17.19 求椭球 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1$的体积

解：曲面的参数方程为 $\begin{cases} x=a\cos\varphi\cos\theta\\ y=b\cos\varphi\sin\theta\\ z=c\sin\varphi \end{cases}-\frac{\pi}{2}\le \varphi \le \frac{\pi}{2},0\le \theta \le 2\pi$则外法向量为 $n=(bc\cos^2\varphi\cos\theta,ac\cos^2\varphi\sin\theta,ab\sin\varphi\cos\varphi)$
$\begin{aligned} V=&\frac{abc}{3}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_0^{2\pi}\cos\varphi d\theta=\frac{4abc\pi}{3} \end{aligned}$

例17.20 计算第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy$，其中 $S$为 $z=4-(x^2+y^2)$与平面 $z=0$所围立体的外侧

解：
由该曲面积分的几何意义，就有 $\iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy=3\iint_D4-(x^2+y^2)dxdy$其中 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le 4\}$，则 $\iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy=3\int_0^2dr\int_0^{2\pi}r(4-r^2)d\theta=24\pi$

例17.21 计算第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy$，其中 $S$是上半球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$的上侧

解：设 $S_2$为 $z=0,x^2+y^2\le a$，下侧，则 $\iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy+\iint_{S_2}xdydz+ydzdx+zdxdy=2a^3\pi$而 $\iint_{S_2}xdydz+ydzdx+zdxdy=0$因此 $\iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy=2a^3\pi$

斯托克斯公式

定理17.10 设 $S\subset R^3$是光滑双侧曲面，其边界由有限段逐段光滑曲线组成，给定 $S$的一侧，边界曲线取正向⁶， $P,Q,R$在包含 $S$的某个区域上连续可微，则 $\begin{aligned} &\oint_{\partial S}Pdx+Qdy+Rdz\\=&\iint_{S}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \end{aligned}$

斯托克斯公式可以视为格林公式在 $R^3$上的推广，这里，我们不作详细证明，只给出一种特殊情况下的推导，假设 $S:x(u,v),y(u,v),z(u,v),(u,v)\in D$是二阶光滑曲面，有界闭区域 $D$的边界曲线是光滑的（逐段光滑情形的证明也是类似的），设为 $u=u(t),v=v(t),t\in[a,b]$。则 $S$的边界曲线为 $\begin{cases} x=x(u(t),v(t))\\ y=y(u(t),v(t))\\ z=z(u(t),v(t)) \end{cases}$于是 $\oint_LPdx=\int_a^bP(x_u^\prime u^\prime+x_v^\prime v^\prime)dt=\oint_{L^\prime}Px_u^\prime du+x_v^\prime dv$其中 $L^\prime$为 $D$的边界曲线，由格林公式 $\begin{aligned} &\oint_{L^\prime}Px_u^\prime du+Px_v^\prime dv\\ =&\iint_D P_y^\prime\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}dudv+\iint_DP_z^\prime\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}dudv\\ =&-\iint_SP_y^\prime dxdy+\iint_SP_z^\prime dzdx \end{aligned}$同理可推得 $\oint_LQdy=\iint_S Q_x^\prime dxdy-\iint_S Q_z^\prime dydz\\ \oint_LRdz=\iint_S R_y^\prime dydz-\iint_S R_x^\prime dzdx$这样，在这种特殊的曲面上就证得斯托克斯公式，实际上，斯托克斯公式不需要二阶光滑这种严苛的条件也能成立，这里就不提供详细的证明细节了。

应用斯托克斯公式的难点在于确定曲面 $S$，见下例：

例17.22 计算第二型曲线积分 $\displaystyle \oint_L ydx+zdy+xdz$，其中 $L$是 $x^2+y^2+z^2=a^2$， $x+y+z=0$，从 $x$轴正向看去是逆时针方向

解：联立两个方程 $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=a^2\\ x+y+z=0 \end{cases}$消去 $x$，所截曲线在 $Oyz$平面的投影为 $(y+z)^2+y^2+z^2=a^2$即 $\frac{3}{2}(y+z)^2+\frac{1}{2}(y-z)^2=a^2$则平面取该截线所围成的在平面 $x+y+z=0$的曲面，取左侧，由斯托克斯公式 $\begin{aligned} &\oint_Lydx+zdy+xdz=-3\iint_Sdydz+dzdx+dxdy\\ =&-3\iint_{\frac{3}{2}(y+z)^2+\frac{1}{2}(y-z)^2\le a^2}dydz \end{aligned}$作正交变换 $\begin{cases} u=\frac{y+z}{\sqrt{2}}\\ v=\frac{y-z}{\sqrt{2}} \end{cases}$有 $-3\iint_{\frac{3}{2}(y+z)^2+\frac{1}{2}(y-z)^2\le a^2}dydz=-3\iint_{3u^2+v^2\le a^2}dudv=-\sqrt{3}a^2\pi$

积分与路径无关

所谓积分与路径无关，即曲线积分只与起止点有关，而与积分路径无关。其物理背景是重力做功，重力做功只与高度的变化有关，而与下落的路径无关，那么，满足什么条件下曲线积分与路径无关呢？

定理17.11（积分与路径无关） 设 $D$是 $R^2$上的一个区域， $P,Q$在 $D$上连续可微，则以下三个命题等价：
(1) $D$内任意逐段光滑的闭曲线 $L$，都有 $\oint_LPdx+Qdy=0$(2) $D$内任意逐段光滑曲线 $L$的曲线积分 $\int_LPdx+Qdy$只与 $L$的起止点有关，与 $L$的路径无关
(3)积分式 $Pdx+Qdy$是某函数 $u(x,y)$的全微分

证：
$(1)\rightarrow(2)$是显然的
$(2)\rightarrow(3)$：
对任意的 $(x_0,y_0)\in D$，令 $\displaystyle u(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Pdx+Qdy$，存在 $\delta>0$，当 $||(x,y)-(x_0,y_0)||<\delta$时，有 $(x,y)\in D$，则当 $\Delta x<\delta$时 $u(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)=\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}P(t,y_0)dt$由积分中值定理，存在 $\xi$介于 $x_0$和 $x_0+\Delta x$之间，使得 $u(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)=P(\xi,y_0)\Delta x$故 $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)}{\Delta x}=P(x_0,y_0)$同理可证 $\lim_{\Delta y\to 0}\frac{u(x_0,y_0+\Delta x)-u(x_0,y_0)}{\Delta x}=Q(x_0,y_0)$而 $P,Q$是连续的，因此， $u$可微，并且 $du=Pdx+Qdy$
$(3)\rightarrow (1)$：假设存在 $D$内的连续可微函数 $U$，满足 $\frac{\partial U}{\partial x}=P,\frac{\partial U}{\partial y}=Q$，设 $L$是连接 $A$到 $B$的光滑曲线， $A\in D,B\in D$，设参数方程为 $x=x(t),y=y(t),t\in[a,b]$，其中 $A=(x(a),y(a)),B=(x(b),y(b))$，于是 $\begin{aligned} &\int_LPdx+Qdy=\int_a^bP(x(t),y(t))x^\prime(t)+Q(x(t),y(t))y^\prime(t)dt\\ =&\int_a^bU_x^\prime(x(t),y(t))x^\prime(t)+U_y^\prime(x(t),y(t))y^\prime(t)dt\\ =&\int_a^b\frac{dU(x(t),y(t))}{dt}dt\\ =&U(x(b),y(b))-U(x(a),y(a)) \end{aligned}$因此，如果 $L$是逐段光滑的闭曲线，作分划 $A=A_0,A_1,\cdots,A_n=A$，使得 $L$在 $A_{k-1}A_k$段是光滑曲线，记 $A_{k-1}A_k$段为 $L(A_{k-1}A_k)$，则 $\begin{aligned} &\int_LPdx+Qdy=\sum_{k=1}^n\int_{L(A_{k-1}A_k)}Pdx+Qdy\\ =&\sum_{k=1}^n(U(A_k)-U(A_{k-1}))=U(A_n)-U(A_0)=0 \end{aligned}$

同样地方法可以证明：

定理17.12 $V$是 $R^3$上区域， $P,Q,R$在 $V$上连续可微，则以下命题等价：
(1) $V$内任意逐段光滑的闭曲线 $L$，都有 $\oint_LPdx+Qdy+Rdz=0$(2) $V$内任意逐段光滑曲线 $L$的曲线积分 $\int_LPdx+Qdy+Rdz$只与 $L$的起止点有关，与 $L$的路径无关
(3)积分式 $Pdx+Qdy+Rdz$是某函数 $u(x,y,z)$的全微分

如果在区域 $D$内积分与路径无关，由定理17.11， $Pdx+Qdy$在 $D$内是某个函数 $U$的全微分。则 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}\\ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}$由于 $P,Q$都是连续可微的，则 $\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}$于是 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$这让我们想起格林公式，如果在 $D$内作一条逐段光滑的简单闭曲线 $L$，如果 $L$围成的有界区域 $D_0\subseteq D$内，由格林公式 $\int_LPdx+Qdy=\int_{D_0}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=0$当然，定理17.11中 (1)要求的是任意的闭曲线，而非简单闭曲线，其次，应用格林公式需要 $D_0\subseteq D$，因此，我们首先需要假设 $D$是单连通区域，那么，下一个问题是，如果在单连通区域 $D$内，都有 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$能否推出 $D$内积分与路径无关呢？答案是肯定的。

定理17.13 $D\subseteq R^2$是平面上的单连通区域，并且 $P,Q$在 $D$内连续可微，则 $D$内积分与路径无关的充要条件是 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

我们作一个简单的分析，如果逐段可微的闭曲线 $L$是简单闭曲线，那么毫无疑问，由格林公式，有 $\int_LPdx+Qdy=0$但 $L$不一定是简单闭曲线，即 $L$可能存在自交点，如下图所示

上图所示的闭曲线就不是简单闭曲线，但是 $L$可以分为4段简单闭曲线，每段简单闭曲线都是逐段光滑的，也有 $\displaystyle \int_LPdx+Qdy=0$。我们给自交点下个定义，对于逐段光滑的闭曲线 $\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases}t\in[a,b]$很显然，即满足 $a<t_0<b$，存在 $a\le t_0^\prime<t_0$，有 $x(t_0)=x(t_0^\prime),y(t_0)=y(t_0^\prime)$，就称 $(x(t_0),y(t_0))$是 $L$的一个自交点。如果 $L$只有有限个自交点，对应的参数从小到大排列为 $a<t_1<\cdots<t_n<b$，对于 $t_1$，存在 $t_1^\prime\in[a,t_1)$，满足 $(x(t_1),y(t_1))=(x(t_1^\prime),y(t_1^\prime))$。据此，我们可以分出一段闭曲线 $L_1:(x(t),y(t)),t_1^\prime\le t\le t_1$。 $L$去掉 $L_1$段，再拼接起来，就形成一段新的闭曲线，新的闭曲线的自交点一定比原来的曲线自交点少⁷，由数学归纳法，如果逐段可微的闭曲线 $L$只有有限个自交点，则 $\int_LPdx+Qdy=0$实际上，对任意的闭曲线，我们可以以闭折线替换之，而闭折线一定满足 $\displaystyle\int_LPdx+Qdy=0$⁸，这就证得了定理17.13。问题是如何用闭折线取代一条闭曲线呢？我们引入一种区域——星形区域，对区域 $G$，如果存在 $A\in G$，对任意的 $M\in G$，直线段 $AM\subseteq G$，则称 $G$是关于 $A$的星形区域。我们下面证明，在星形区域上，如果满足 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$则积分与路径无关。假设 $G$是关于 $A$的星形区域，并且在 $G$上满足： $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$。定义 $G$上的函数 $\displaystyle U(M)=\int_{AM}Pdx+Qdy$，其中 $AM$是直线段 $AM$，从 $A$到 $M$。设 $M(x_0,y_0)$，存在 $\delta>0$，使得 $B(M,\delta)\subseteq G$，当 $\Delta x<\delta$时，取 $M^\prime(x_0+\Delta x,y_0)$，则 $MM^\prime$的直线段都在 $G$内闭折线 $AMM^\prime A$围成的三角形区域都在 $G$内，从而由格林公式 $\int_{MM^\prime}Pdx+Qdy+U(M)-U(M^\prime)=0$而 $\int_{MM^\prime}Pdx+Qdy=\Delta x\int_0^1P(x_0+t\Delta x,y_0)dt$故由积分中值定理，存在 $\xi\in [0,1]$，有 $\frac{U(M^\prime)-U(M)}{\Delta x}=P(x_0+\xi\Delta x,y_0)$令 $\Delta x\to 0$，可知 $\frac{\partial U}{\partial x}=P$，同理可证 $\frac{\partial U}{\partial y}=Q$，因此，在 $G$上积分与路径无关。显然任何邻域都是星形区域。假设 $L$是单连通区域 $D$上的任意一条逐段光滑的闭曲线，则 $D^c$为闭集， $L\cap D=\emptyset$，则 $L$与 $D^c$有一个正距离 $\delta_0>0$。取 $L$的一个分划： $\Delta:A=A_0,A_1,\cdots,A_n=A_0$，使得 $\displaystyle \lambda(\Delta)=\max_{1\le i\le n}diamL(A_{i-1}A_i)<\frac{\delta_0}{2}$⁹，则对于点 $A_{i-1}$，其邻域 $B(A_{i-1},\frac{\delta_0}{2})\subseteq G$¹⁰，并且直线段 $A_{i-1}A_i$及弧段 $A_{i-1}A_i$都在这个邻域内，而 $B(A_{i-1},\frac{\delta_0}{2})$显然是星形区域，从而 $\int_{L(A_{i-1}A_i)}Pdx+Qdy=\int_{A_{i-1}A_i}Pdx+Qdy$因此，弧段 $L(A_{i-1}A_i)$可用直线段 $A_{i-1}A_i$取代，从而曲线段 $L$可由闭折线 $L^\prime :AA_1\cdots A_{n-1}A$取代，故 $\int_LPdx+Qdy=\int_{L^\prime}Pdx+Qdy=0$这就证明了在单连通区域上，积分与路径无关。定理17.13成立。对于 $R^3$中积分与路径无关的条件，我们同样想到应用斯托克斯公式，所谓空间单连通区域，即 $G$内任意闭曲面围成的区域内部都在 $G$内；为了应用斯托克斯公式，我们需要引入曲面单连通区域的概念，即 $G$内任意逐段光滑的简单闭曲线都是 $G$内某片分片光滑的闭曲面的边界曲线，再应用斯托克斯公式，就有

定理17.14 $G\subseteq R^3$是曲面单连通区域，并且 $P,Q,R$在 $G$上连续可微，则曲面积分 $\int_L Pdx+Qdy+Rdz$在 $G$内积分路径无关的充要条件为 $\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}\\ \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}\\ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

该定理的证明同样要引入星形区域的概念，与 $R^2$情形是类似，这里就不赘述了。

定理17.15 $G\subseteq R^3$是星形区域，并且 $P,Q,R$在 $G$上连续可微，则曲面积分 $\int_L Pdx+Qdy+Rdz$在 $G$内积分路径无关的充要条件为 $\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}\\ \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}\\ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

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1. 因为 $\gamma_k$的分划可以扩张为 $\gamma$的分划，而 $\gamma$分划对应的内接折线长是有上确界的，因此， $\gamma_k$的任一分划对应的内接折线长也是由上确界的 ↩︎

2. 因为 $\phi^\prime(t)\neq 0$，从而 $||\phi^\prime(t)||\neq 0$，再由 $\gamma$是光滑曲线，从而 $||\phi^\prime(t)||$是连续函数 ↩︎

3. $\lambda(\Delta^\prime)$表示光滑曲线的最大弧长， $\displaystyle\lambda(\Delta)=\max_{1\le i\le n}|t_i-t_{i-1}|$ ↩︎

4. 以下积分计算的难点在于计算 $\displaystyle\int_0^a\sqrt{1+x^2}dx$，不定积分 $\displaystyle \int\sqrt{1+x^2}dx$求解过程如下：
   $\displaystyle\int \sqrt{1+x^2}dx\xlongequal{x=\tan \theta}\int\frac{\sin^2\theta d\theta}{\cos^3\theta}+\int \sec \theta d\theta$
   分别求解两个积分
   $\displaystyle\int \frac{\sin^2\theta d\theta}{\cos^3\theta}=\int\frac{\sin^2\theta \cos \theta d\theta}{\cos^4\theta}=\int\frac{\sin^2\theta d\sin\theta}{(1-\sin^2\theta)^2}$
   作变量替换 $t=\sin\theta$，则 $\int \frac{\sin^2\theta d\theta}{\cos^3\theta}=\int\frac{t^2dt}{(1-t^2)^2}$令 $\begin{aligned} &\frac{t^2}{(1-t^2)^2}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{(t-1)^2}+\frac{C}{t+1}+\frac{D}{(t+1)^2}\\ =&\frac{At+(B-A)}{(t-1)^2}+\frac{Ct+(C+D)}{(1+t)^2}\\ =&\frac{(At+(B-A))(1+t)^2+(Ct+(C+D))(t-1)^2}{(1-t^2)^2}\\ =&\frac{(A+C)t^3+(B+A-C+D)t^2+(2B-A-2D-C)t+B-A+C+D}{(1-t^2)^2} \end{aligned}$待定系数，得到方程组 $\begin{cases} A+C=0\\ B+A-C+D=1\\ 2B-A-2D-C=0\\ B-A+C+D \end{cases}$解之，得 $A=\frac{1}{4},B=\frac{1}{4},C=-\frac{1}{4},D=\frac{1}{4}$，则 $\begin{aligned} \int\frac{t^2dt}{(1-t^2)}=&\frac{1}{4}\int\frac{dt}{t-1}+\frac{1}{4}\int\frac{dt}{(1-t)^2}-\frac{1}{4}\int\frac{dt}{t+1}+\frac{1}{4}\int\frac{dt}{(1+t)^2}\\ =&\frac{1}{4}\ln|\frac{1-t}{1+t}|-\frac{1}{4}[\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t+1}]+C\\ =&\frac{1}{4}\ln|\frac{1-t}{1+t}|+\frac{t}{2(1-t^2)}+C \end{aligned}$从而 $\int\frac{\sin^2\theta d\theta}{\cos^3\theta}=\frac{1}{4}\ln\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}+\frac{\sin\theta}{2\cos^2\theta}+C$而 $\int\sec\theta d\theta=-\frac{1}{2}\ln\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}+C$故 $\int \sqrt{1+x^2}dx=-\frac{1}{4}\ln\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}+\frac{\sin\theta}{2\cos^2\theta}+C$由于 $x=\tan\theta,\sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$，代入，就有 $\int \sqrt{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{1+x^2})+\frac{x\sqrt{1+x^2}}{2}+C$ ↩︎

5. 逐段光滑曲线的证明也是类似的，只需要把侧面分块即可，证明每块上曲面积分的值都为0 ↩︎

6. 也就是一个人站立保持与该侧的法向量一致，沿着边界曲线移动的过程中，曲面始终在这个人的左侧 ↩︎

7. 因为原有的曲线中，不是自交点的点，在新曲线上也不会是自交点，而其他的原有曲线的自交点可能会因为去掉了这段简单闭曲线后又不是自交点，总之，去掉这段闭曲线后自交点个数会减少。 ↩︎

8. 这是因为闭折线的自交点一定是闭折线某两条线段的交点，如果两条线段恰好共线，则在运动过程中必然方向相反，作曲线积分则正负相消，如果不共线，那么至多只有一个交点，而闭折线只由有限线段拼接而成。 ↩︎

9. 这是可以做到的，因为 $L$是逐段光滑曲线，故各分量函数有一致连续性，据此就容易找到一个分划使得其各弧段直径足够小。 ↩︎

10. $A_{i-1}A_i$的各点可以表示为 $Z_\lambda=(1-\lambda)A_{i-1}+\lambda A_i$，则 $||Z_{\lambda}-A_{i-1}||=(1-\lambda)||A_{i-1}-A_i||\le diam(L(A_{i-1}A_i))<\frac{\delta_0}{2}$ ↩︎