LeetCode 1462. 课程表 IV：拓扑排序

【LetMeFly】1462.课程表 IV：拓扑排序

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/course-schedule-iv/

你总共需要上 numCourses 门课，课程编号依次为 0 到 numCourses-1 。你会得到一个数组 prerequisite ，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] 表示如果你想选 bi 课程，你 必须 先选 ai 课程。

• 有的课会有直接的先修课程，比如如果想上课程 1 ，你必须先上课程 0 ，那么会以 [0,1] 数对的形式给出先修课程数对。

先决条件也可以是 间接 的。如果课程 a 是课程 b 的先决条件，课程 b 是课程 c 的先决条件，那么课程 a 就是课程 c 的先决条件。

你也得到一个数组 queries ，其中 queries[j] = [uj, vj]。对于第 j 个查询，您应该回答课程 uj 是否是课程 vj 的先决条件。

返回一个布尔数组 answer ，其中 answer[j] 是第 j 个查询的答案。

示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]], queries = [[0,1],[1,0]]
输出：[false,true]
解释：课程 0 不是课程 1 的先修课程，但课程 1 是课程 0 的先修课程。

示例 2：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [], queries = [[1,0],[0,1]]
输出：[false,false]
解释：没有先修课程对，所以每门课程之间是独立的。

示例 3：

输入：numCourses = 3, prerequisites = [[1,2],[1,0],[2,0]], queries = [[1,0],[1,2]]
输出：[true,true]

提示：

• 2 <= numCourses <= 100
• 0 <= prerequisites.length <= (numCourses * (numCourses - 1) / 2)
• prerequisites[i].length == 2
• 0 <= ai, bi <= n - 1
• ai != bi
• 每一对 [ai, bi] 都 不同
• 先修课程图中没有环。
• 0 <= ui, vi <= n - 1
• ui != vi

方法一：拓扑排序

首先，在确定课程的先后关系上，这道题类似于LeetCode 207.课程表，使用拓扑排序进行解决即可。

那么，问题是对于$10^4$个query，如何快速返回每次的查询呢？

我们可以建立一个$numCourses\times numCourses$的布尔类型的数组$isPre$。$isPre[a][b]$代表课程$a$是否为课程$b$的先修课。（这样，对于某个查询$q$，只需要返回$isPre[q[0]][q[1]]$即可）

在拓扑排序时，如果确定了thisCourse是nextCourse的先修课，那么所有thisCourse的先修课都是nextCourse的先修课。用公式表示即为：

$$\forall 0\le i\le numCourses,isPre[i][nextCourse]|=isPre[i][thisCourse]$$

• 时间复杂度$O(numCourse{s}^2+n+q)$，其中$n$是先修课关系数，$q$是查询的个数
• 空间复杂度$O(numCourse{s}^2+n)$

AC代码

C++

class Solution {
    
    
public:
    vector<bool> checkIfPrerequisite(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites, vector<vector<int>>& queries) {
    
    
        // 建图
        vector<vector<int>> graph(numCourses);
        vector<int> indegree(numCourses);
        for (vector<int>& ab : prerequisites) {
    
    
            graph[ab[0]].push_back(ab[1]);
            indegree[ab[1]]++;
        }

        // 初始化队列
        queue<int> q;
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
    
    
            if (!indegree[i]) {
    
    
                q.push(i);
            }
        }

        // 预处理（拓扑排序）
        vector<vector<bool>> isPre(numCourses, vector<bool>(numCourses, false));
        while (q.size()) {
    
    
            int thisCourse = q.front();
            q.pop();
            for (int nextCourse : graph[thisCourse]) {
    
    
                indegree[nextCourse]--;
                if (!indegree[nextCourse]) {
    
    
                    q.push(nextCourse);
                }
                isPre[thisCourse][nextCourse] = true;
                for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
    
    
                    isPre[i][nextCourse] = isPre[i][nextCourse] | isPre[i][thisCourse];  // vector不支持|=
                }
            }
        }

        // 查询
        vector<bool> ans;
        for (vector<int>& q : queries) {
    
    
            ans.push_back(isPre[q[0]][q[1]]);
        }
        return ans;
    }
};

Python

# from typing import List

class Solution:
    def checkIfPrerequisite(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]], queries: List[List[int]]) -> List[bool]:
        graph = [[] for _ in range(numCourses)]
        indegree = [0] * numCourses
        for a, b in prerequisites:
            graph[a].append(b)
            indegree[b] += 1
        
        q = []
        for i in range(numCourses):
            if not indegree[i]:
                q.append(i)
        
        isPre = [[False for _ in range(numCourses)] for __ in range(numCourses)]
        while q:
            thisCourse = q.pop()
            for nextCourse in graph[thisCourse]:
                indegree[nextCourse] -= 1
                if not indegree[nextCourse]:
                    q.append(nextCourse)
                isPre[thisCourse][nextCourse] = True
                for i in range(numCourses):
                    isPre[i][nextCourse] |= isPre[i][thisCourse]
        
        ans = []
        for a, b in queries:
            ans.append(isPre[a][b])
        return ans

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