傅里叶级数、傅里叶变换的引出——信号系统学习笔记

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连续周期信号的傅里叶级数

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在处理与分析工程实际中的一些问题时，常常采取某种手段将问题进行变换，从另一个角度进行分析和处理。傅里叶变换，就是一种对连续时间函数的积分变换，可以将信号从时域变换到频域，是对连续时间信号的频域分析，进而研究信号的频谱(幅度频谱和相位频谱)结构和变化规律。
频域分析即把信号分解为不同频率分量，求响应，再组合的方法。

所以在讨论傅里叶变换之前，我们有必要先回顾一下傅里叶级数的展开。
周期信号 $f(t)$, 满足狄利克雷条件，可分解成谐波关系的三角函数的组合。

$\bm{f(t)=a_0+\sum_{N=1}^{\infty}[a_ncos(nw_0t)+b_nsin(nw_0t)]}$

f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里克雷条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。

所以求三角形式的傅里叶级数，只需要确定 $a_0,a_n,b_n$三个参数。

当然，要先观察函数的奇偶性，可以大大简化求解过程。

如果 $f(t)$是奇函数，利用积分的奇偶特性， $a_0=\frac{1}{T_0}\int_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)dt=0$，同理 $a_n=0$

相反，如果 $f(t)$是偶函数，同样可以简化 $b_n=0$

当n取0时， $a_n也就=a_0$，所以利用三角形式傅里叶级数展开的是基波从 $n>=0$开始的单边频谱。

将 $[a_ncos(nw_0t)+b_nsin(nw_0t)]合并成一个谐波形式：\bm{C_n}$

其实也就是利用三角函数基本公式化简，具体推导过程如下：

最后，还可以利用欧拉公式将傅里叶级数转变为指数形式。

但有一点需要注意的是，指数形式的傅里叶级数展开变成了双边频谱，所包含的幅频特性 $|F_n|$是关于 $w$的偶函数，相频特性是关于 $w$的奇函数，且频谱图中幅频原点处幅值不变。

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傅里叶变换的引出

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讲到这里，其实傅里叶变换就是傅里叶级数由周期函数向非周期函数（周期趋向于无穷，就变成了非周期）演变而来的。

在这里你可以认为周期函数才有傅里叶级数，非周期函数只有傅里叶变换，此时离散谱已变成了连续谱。
同样的，还有傅里叶逆变换：

随着通信技术的发展，在傅氏变换之后，又出现了用于处理离散时间函数的离散傅氏变换以及有限离散傅氏变换（ $\bm{DFT}$），特别是20世纪60年代出现的针对DFT的快速算法: $\bm{FFT}$，使得傅氏变换在数字领域也同样发挥着巨大的作用。