Part0:三角函数系的正交性
我们称
\[ (0),1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\sin 3x,\cos 3x,...,\sin nx,\cos nx,... \]
为三角函数系(trigonometric functions).三角函数系在区间\([-\pi,\pi]\)上正交(orthogonal),即对于其中任意两个互不相等的函数,其在\([-\pi,\pi]\)上的积分等于零.即,
\[ \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx=0;(n=0,1,2,\dots)\\ \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\mathrm{d}x=0;(n,m=0,1,2,\dots)\\ \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\mathrm{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx\mathrm{d}x=0.(n\ne m,n,m=0,1,2,\dots) \]
对于相等的函数,我们有
\[ \int_{-\pi}^{\pi}1\mathrm{d}x=2\pi;\\ \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 nx\mathrm{d}x=\pi;\\ \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 nx\mathrm{d}x=\pi.(n=1,2,\dots) \]
我们只需用积化和差公式即可证明.证明略.
Part1:三角级数与傅里叶级数
我们知道,简单的周期运动可表述为以下形式:
\[ y=A\sin(\omega t+\varphi) \]
(又称之为谐波函数(harmonic function))其中\(A\)称为振幅(amplitude),\(\omega\)称为角频率(angular frequency),\(\varphi\)称为初相(initial phase).我们考虑一个复杂的周期运动
\[ y=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(n\omega t+\varphi_n) \]
记\(\frac{a_0}2=A_0,a_n=A_n\sin(\varphi_n),b_n=A_n\cos(\varphi_n),x=\omega t\),则级数可表达为
\[ y=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) \]
称有上述形式的级数为三角级数(trigonometric series).
设\(f(x)\)是周期为\(2\pi\)的周期函数,假设\(f(x)\)可展开成有上述形式的三角级数,那么有
\[ a_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm dx,(n=0,1,2,\dots)\\ b_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\mathrm dx.(n=1,2,\dots) \]
我们来证明这一结论.
证: 由三角函数的正交性,两端积分,有
\[ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm dx&=\frac{a_0}2\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm dx+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\mathrm dx+b_n\int_{\pi}^{\pi}\sin nx\mathrm dx)\\ &=a_0\pi\\ \therefore a_0&=\frac1{\pi}\int_{\pi}^{\pi}f(x)\mathrm dx \end{align} \]
我们在两端同乘以\(\cos kx\)并积分,得
\[ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\mathrm dx&=\frac{a_0}2\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\mathrm dx+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos kx\mathrm dx+b_n\int_{\pi}^{\pi}\sin nx\cos kx\mathrm dx)\\ &=a_k\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos^2 kx\mathrm dx=a_k\pi\\ \therefore a_k&=\frac1{\pi}\int_{\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\mathrm dx \end{align} \]
类似地,用\(\sin kx\)同乘两端并积分,得
\[ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\mathrm dx&=\frac{a_0}2\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\mathrm dx+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\sin kx\mathrm dx+b_n\int_{\pi}^{\pi}\sin nx\sin kx\mathrm dx)\\ &=b_k\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin^2 kx\mathrm dx=b_k\pi\\ \therefore b_k&=\frac1{\pi}\int_{\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\mathrm dx \end{align} \]
综上,有
\[ a_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm dx,(n=0,1,2,\dots)\\ b_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\mathrm dx.(n=1,2,\dots) \]
我们称\(a_n,b_n\)为\(f(x)\)(所确定)的傅里叶系数(Fourier coefficient),以\(f(x)\)的傅里叶系数为系数的三角级数称为傅里叶级数(Fourier series),记为
\[ f(x)\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) \]
然而,我们只是假设了傅里叶级数存在,并未说明假设究竟什么时候成立,即\(f(x)\)满足什么条件才可以展开成傅里叶级数.事实上,有
狄利克雷(Dirichlet)条件
设\(f(x)\)是周期为\(2\pi\)的周期函数,若\(f(x)\)满足狄利克雷条件,即，
\(1.\)在一个周期上只有有限个第一类间断点;
\(2.\)在一个周期上只有有限个极值点;
\(3.\)在一个周期上绝对可积;
则\(f(x)\)可展开为傅里叶级数,且
\[ \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx_0+b_n\sin nx_0)=\\ \begin{cases} f(x_0),x_0\text{为连续点},\\ \frac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}2,x_0\text{为第一类间断点}. \end{cases} \]
事实上,狄利克雷条件是函数能展开成傅里叶级数的充分不必要条件.
我们来看一个例子.
例 设\(f(x)\)是周期为\(2\pi\)的周期函数,它在一个周期\([-\pi,\pi]\)上的表达式如下:
\[ f(x)=\begin{cases} -1,-\pi\le x<0,\\ 1,0\le x<\pi \end{cases} \]
试将\(f(x)\)展开成傅里叶级数.
解:先求傅里叶系数:
\[ \begin{align} a_n&=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm dx\\ &=\frac1{\pi}(\int_{-\pi}^0(-1)\cos nx\mathrm dx+\int_0^{\pi} 1\cdot\cos nx\mathrm dx)\\ &=0.(n=0,1,2,\dots) \end{align} \]
\[ \begin{align} b_n&=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\mathrm dx\\ &=\frac1{\pi}(\int_{-\pi}^0(-1)\sin nx\mathrm dx+\int_0^{\pi} 1\cdot\sin nx\mathrm dx)\\ &=\frac1{\pi}\left[\frac{\cos nx}n\right]_{-\pi}^0+\frac1{\pi}\left[-\frac{\cos nx}n\right]_0^{\pi}=\frac2{n\pi}(1-\cos nx)\\ &=\frac2{n\pi}[1-(-1)^n]=\begin{cases}\ \frac4{n\pi},n=1,3,5,\dots,\\ 0,n=2,4,6,\dots,\\ \end{cases} \end{align} \]
\[ \begin{align} \therefore f(x)&=\frac4{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2n-1}\sin[(2n-1)x],(x\in\R,x\ne 0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots,\pm k\pi,\dots)\\ &=\frac4{\pi}[\sin x+\frac13\sin 3x+\frac15\sin 5x+\dots+\dots] \end{align} \]
特别地,当\(x=k\pi,(k\in\Z)\)时,级数收敛于\(0\).
Part2:任意周期函数的傅里叶级数
我们设\(f(x)\)是周期为\(2l\)的周期函数,我们另\(u=\frac{\pi x}l\),则\(f(u)\)可以展开成傅里叶级数,且
\[ f(u)\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nu+b_n\sin nu),\\ a_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(u)\cos nu\mathrm du,(n=0,1,2,\dots)\\ b_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(u)\sin nu\mathrm du.(n=1,2,\dots) \]
带入\(u=\frac{\pi x}l\),得
\[ f(x)\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx),\\ a_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos \frac{n\pi x}l\mathrm dx,(n=0,1,2,\dots)\\ b_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin \frac{n\pi x}l\mathrm dx.(n=1,2,\dots) \]
这就是任意周期函数的傅里叶级数展开公式.对于任意周期的周期函数,狄利克雷条件类似.