傅 里 叶 级 数
设fT(t)是以T为周期的实值函数，且在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷条件，即f(t)在[-T/2,T/2]上满足
（1）：连续或只有有限个第一类间断点
（2）：只有有限个极值
则在fT(t)的连续点处有
$$
f_T\left( t \right) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}{\left( a_n\cos n\omega _0t+b_n\sin n\omega _0t \right)}\,\, \text{式}1
$$
其中
$$
\omega _0=\frac{2\pi}{T}
\\
a_n=\frac{1}{\frac{T}{2}}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\begin{array}{c}
f_T\left( t \right) \cos n\omega _0tdt\,\, \left( n=0,1,2... \right)\\
\end{array}}
\\
b_n=\frac{1}{\frac{T}{2}}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\begin{array}{c}
f_T\left( t \right) \sin n\omega _0tdt\,\, \left( n=1,2,3... \right)\\
\end{array}}
$$
在fT(t)的间断点处，式1的左端为
$$
\frac{1}{2}\left[ f_T\left( t+0 \right) +f_T\left( t-0 \right) \right]
$$
将其代入式1，即可得到fT(t)的傅里叶展开式。
由于正弦函数和余弦函数可以统一的由指数函数表出，因此可以得到另一种更简洁的形式，由欧拉公式可知
$$
\cos n\omega _0t=\frac{1}{2}\left( e^{jnw_0t}+e^{-jn\omega _0t} \right) \,\,, \sin n\omega _0t=\frac{j}{2}\left( e^{-jn\omega _0t}-e^{jn\omega _0t} \right)
$$
代入式1可得
$$
f_T\left( t \right) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}{\left( \frac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega _0t}+\frac{a_n+jb_n}{2}e^{-jn\omega _0t} \right)}\,\, \text{式}2
$$
令
$$
c_0=\frac{a_0}{2},c_n=\frac{a_n-jb_n}{2},c_{-n}=\frac{a_n+jb_n}{2}\,\, \left( n=1,2,... \right)
$$
可得
$$
f_T\left( t \right) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{c_ne^{jn\omega _0t}\,\, }\text{式}2
\\
c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f_T\left( t \right) e^{jn\omega _0t}dt\,\, \left( n=0,\pm 1,\pm 2,... \right)}\,\, \text{式}3
$$
我们称1式为傅里叶级数的三角形式，式2为傅里叶级数的复指数形式。工程上一般采用后一种形式。
傅 里 叶 变 换
傅里叶变换是积分变换中最常见的一种变换，他既能化简运算（如求解微分方程，化卷积为乘积），又具有非常特殊的物理意义。但是傅里叶级数要求被展开的级数必须是周期函数，而在实际问题中，遇到的大都是非周期函数。将非周期函数f(t)看成由周期函数fT(t)当T→+∞时转换而来的。
傅里叶积分定理：如果f(t)在[-∞,+∞]上的任一有限区间满足狄氏条件，且在（-∞，+∞）上绝对可积，那么由2式和3式可得
$$
f\left( t \right) =\lim_{T\rightarrow +\infty} f_T\left( t \right) =\lim_{T\rightarrow +\infty} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{\left[ \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f_T\left( \tau \right) e^{-jn\omega _0\tau}d\tau} \right]}e^{jn\omega _0t}\,\, \text{式}4
$$
式4称为傅里叶积分公式或者傅里叶积分表达式。
傅里叶变换：从式4出发，令
$$
F\left( \omega \right) =\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-j\omega t}dt}\,\, \text{式}5
\\
\text{则有：}f\left( t \right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{F\left( \omega \right) e^{j\omega t}d\omega}\,\, \text{式}6
$$
式5称为傅里叶变换，式6称为傅里叶逆变换
不想写了，好累QAQ，有问题自己翻书qaq