信号与系统 Part 2：傅里叶级数和傅里叶变换(1) 典型周期信号的傅里叶级数推导

配郑君里《信号与系统》第三版 3.3

0. 傅里叶级数展开公式

其他有关傅里叶级数的总结可见博文
$f(t)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(n\omega_1t)+b_n\sin(n\omega_1t)\right]$

$a_0$前的系数只是为了保持与其他 $a_i$表达式的一致

其中，
$a_n=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt, \ \ \ n=0, 1, 2\cdots \\ b_n=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt, \ \ \ n=1, 2, 3\cdots$

关于为什么 $a_0$是 $\frac{1}{T_1}$，而 $a_n$是 $\frac{2}{T_1}$。思考最初的推导过程，我们是将正交函数系和原函数相乘，得到一系列的关于系数的积分等式， $a_0$对应直流部分，常数直接积分，区间长度为 $T_1$，因而除过去就是 $\frac{1}{T_1}$，而相应 $a_n$积分，由正交性，最终留下的是相应三角值的平方，由半角公式，给出一个 $\frac{1}{2}$的常数，所以积分得到 $\frac{T_1}{2}$，除过去得到 $\frac{2}{T_1}$。

1. 周期矩形脉冲信号

偶函数，仅需推导 $a_n$项。

$\frac{1}{2}a_0=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\,\mathrm dt=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}E\,\mathrm dt=\frac{E\tau}{T_1}$
$\begin{aligned} a_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^\frac{T_1}{2}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{\tau}{2}}^\frac{\tau}{2}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{n\omega_1T_1}\cdot 2\sin(n\omega_1t)\bigg|_0^{\frac{\tau}{2}}=\frac{4E}{n\omega_1T_1}\sin\left(n\omega_1\frac{\tau}{2}\right) \end{aligned}$
随后，灵活运用 $\omega_1T_1=2\pi$，得到：
$a_n=\frac{2E}{n\pi}\sin\left(n\pi\frac{\tau}{T_1}\right)$
上面这个式子可以生动地反映出频谱特性，即振幅呈调和收缩，整体为表现出振荡。

1.1. 抽样函数形式

利用抽样函数，进行改写：
$a_n=\frac{2E}{n\pi}\frac{n\pi\tau}{T_1}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_1}\right)=\frac{2E\tau}{T_1}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_1}\right)$
还可以转化成用 $\omega_1$表示的形式：
$a_n=\frac{E\tau\omega_1}{\pi}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\omega_1\tau}{2}\right)$
这是一个系数非1的抽样函数，在此基础上，我们对周期脉冲的赋值特性有了更加深刻的了解，即存在一个明显的收敛趋势，通信时我们只需考虑在频带内部的部分即可。

1.2. 奇偶性分析以及对称方波

最终的展开式为：
$f(t)=\frac{E\tau}{T_1}+\frac{2E\tau}{T_1}\sum_{n=1}^\infty\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_1}\right)\cos\left(n\omega_1t\right)$
这其中常数是一个偶函数才可能有的成分。分析第二部分，为一个对称脉冲。

如果我们将脉冲宽度调整为 $\frac{T_1}{2}$，那么最终就会构成一个对称方波。

亦即
$f(t)=\frac{2E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\left(n\omega_1t\right)$

2. 周期锯齿脉冲信号

这是一个奇函数，因而展开为
$f(t)=b_n\sin(n\omega_1t)$
其中
$\begin{aligned} b_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}\frac{E}{T_1}t\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt=\frac{2E}{T_1^2}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}t\,\mathrm d\left[\cos(n\omega_1t)\right]\\ &=\frac{2E}{T_1^2}\left(\frac{-1}{n\omega_1}\right)\left[2\frac{T_1}{2}(-1)^n-\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\right]\\ &=\frac{2E}{T_1^2}\left(\frac{-1}{n\omega_1}\right)\left[T_1(-1)^n-0\right]\\ &=\frac{2E}{T_1n\omega_1}(-1)^{(n+1)}=\frac{E}{n\pi}(-1)^{n+1} \end{aligned}$
最终的展开式为：
$\begin{aligned} f(t)&=\frac{E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\sin(n\omega_1t)\\ &=\frac{E}{\pi}\left[\sin(\omega_1t)-\frac{1}{2}\sin(2\omega_1t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega_1t)-\frac{1}{4}\sin(4\omega_1t)\cdots\right] \end{aligned}$

3. 周期三角脉冲信号

这是一个偶函数，所以我们只需展成如下形式：
$f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt$
其中 $a_0$为一个周期上的积分，易得 $a_0=\frac{E}{2}$

将三角脉冲分解成一个直流信号和一个倒绝对值信号的加和，绝对值信号是偶对称信号，于是积分过程中可以有：
$\begin{aligned} a_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\left[\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}E+\frac{2E}{T_1}\left(\int_{-\frac{T_1}{2}}^{0}-\int_{0}^\frac{T_1}{2}\right)t\right]\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\left(0-\frac{4E}{T_1}\int_{0}^{\frac{T_1}{2}}t\right)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=-\frac{2}{T_1}\frac{4E}{T_1}\frac{1}{n\omega_1}\left[t\sin(n\omega_1t)\Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^\frac{T_1}{2}\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt\right]\\ &=-\frac{8E}{n\omega_1T_1^2}\left[0-\frac{2}{n\omega_1}\right]\\ &=\frac{16}{n\omega_1^2T_1^2}=\frac{16}{n(2\pi)^2}=\frac{4}{n\pi^2} \end{aligned}$
最终展开式为：
$\begin{aligned} f(t)&=\frac{E}{2}+\frac{4E}{\pi^2}\left[\cos(\omega_1t)+\frac{1}{3^2}\cos(3\omega_1t)+\frac{1}{5^2}\cos(5\omega_1t)+\cdots\right]\\ &=\frac{E}{2}+\frac{4E}{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\sin^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos(n\omega_1t) \end{aligned}$

4. 周期半波余弦信号

直接写 $a_n$的推导过程：
$\frac{1}{2}a_0=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\,\mathrm dt=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{4}}E\cos(\omega_1t)\,\mathrm dt=\frac{1}{\omega_1T_1}2E=\frac{E}{\pi}$
$\begin{aligned} a_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{4}}E\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{T_1}\int_{0}^{\frac{T_1}{4}}\cos\left[(n+1)\omega_1t\right]+\cos[(n-1)\omega_1t]\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{\omega_1T_1}\left[\frac{\sin\frac{(n+1)\pi}{2}}{n+1}+\frac{\sin\frac{(n-1)\pi}{2}}{n-1}\right]\\ &=\frac{E}{\pi}\left[\frac{\cos\frac{n\pi}{2}}{n+1}-\frac{\cos\frac{n\pi}{2}}{n-1}\right]\\ &=\frac{E\cos\frac{n\pi}{2}}{\pi}\cdot\frac{1}{n^2-1}\cdot\left(-2\right)=-\frac{2E\cos\frac{n\pi}{2}}{\pi}\frac{1}{n^2-1} \end{aligned}$
展开为：
$f(t)=\frac{E}{\pi}-\frac{2E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2-1}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos(n\omega_1t)$

5. 周期全波余弦信号

由于这个函数也是偶函数，分析方法与半波余弦信号比较类似，我们尽量利用先前得到的结果。

首先，一个周期内的半个空缺被补上，首项变为原来的两倍，成为半波推导中的 $a_0$，即 $\frac{2E}{\pi}$。
由于是偶函数，所以我们可以利用偶函数性质，将其系数 $A_n$表示成
$\begin{aligned} A_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{4}}^\frac{T_1}{4}E\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt+2\cdot\frac{2}{T_1}\int_{\frac{T_1}{4}}^\frac{T_1}{2}E(-\cos\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=a_n-\frac{4E}{T_1}\int_\frac{T_1}{4}^\frac{T_1}{2}\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt \end{aligned}$
我们计算
$\begin{aligned} I_n&=\frac{4E}{T_1}\int_\frac{T_1}{4}^\frac{T_1}{2}\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{T_1}\int_\frac{T_1}{4}^\frac{T_1}{2}\cos[(n+1)\omega_1t]+\cos((n-1)\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{\omega_1T_1}\left(\frac{\sin(n+1)\pi-\sin\frac{n+1}{2}\pi}{n+1}+\frac{\sin(n-1)\pi-\sin\frac{n-1}{2}\pi}{n-1}\right)\,\mathrm dt\\ &=\frac{E}{\pi}\left(\frac{0-\cos\frac{n\pi}{2}}{n+1}+\frac{0+\cos\frac{n\pi}{2}}{n-1}\right)\,\mathrm dt\\ &=\frac{E}{\pi}\cos\frac{n\pi}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)\,\mathrm dt\\ &=\frac{-2E}{\pi}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\frac{1}{n^2-1} \end{aligned}$

于是我们发现了一个问题：周期全波余弦信号的傅里叶展开是周期半波余弦的直接加倍。

将4.中得到的结果加倍，得到：
$f(t)=\frac{2E}{\pi}-\frac{4E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2-1}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos(n\omega_1t)$
由于 $n$为奇数时，系数为0，所以我们取 $n=2n$，对系数表达式进行变形：
$f(t)=\frac{2E}{\pi}+\frac{4E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4n^2-1}(-1)^{n+1}\cos(2n\omega_1t)$